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HI
habe folgendes problem, ich soll prüfen ob es eine ganzrationale funktion 4./5. grades gibt die an der stelle P(-1/7) einen tiefpunkt, an der stelle o.5 einen wendepunkt und den punkt Q(4/32) hat. Mein problem ist mittels dieser gleichungen kann ich nur 4 terme aufstellen aber ich habe 5 unbekannte... Ansatz:
[mm] F(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e
[/mm]
[mm] F'(x)=4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
[mm] F''(x)=12ax^2+6bx+2c
[/mm]
F(4)=32=256a+64b+16c+4c+e
F(-1)=7=a-b+c-d+e
F'(-1)=0=-4a+3b-2c+d
F''(o,5)=0=3a+3b+2c
Eigentlich könnte man durch ein geeignetes verfahren nach den variablen auflösen, aber mir fehlt irgendwie eine gleichung. Und wenn man das für 5. grades machen soll weiß ich leider auch nicht. Kann mir vielleicht jemand helfen ;)
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:02 Sa 30.04.2005 | | Autor: | Max |
Hallo Christian,
du kannst ja theoretisch dein unterbestimmtes Gleichungssystem in Abhängigkeit eines Parameters lösen. Möglicherweise werden diese Parameter noch durch die Bedingung $f''(x)$ hat bei $0,5$ einen Vorzeichenwechsel eingeschränkt...
Es kann natürlich auch passieren, dass dein unterbestimmtes Gleichungssystem trotzdem unlösbar ist! So kannst du dann entscheiden ob es überhaupt eine ganzrationale Funktion geben kann.
Diese Argumentation musst du dann auch für ein Polynom 5. Grades überprüfen.
Gruß Max
Max
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Hallo.
Da dein Gleichungssystem tendentiell ziemlich unhandlich wird, habe ich hier mal ein paar Kontrollergebnisse.
Ich habe dein (im übrigen richtiges) unterbestimmtes Gleichungssystem mal nach a,b,c,d (in Abhängigkeit von e) aufgelöst.
Damit ist, wie Max schon sagte, aber noch nicht jeder Wert, den wir erhalten, automatisch Lösung, bzw. eine unserer gesuchten ganzrationalen Kurven.
Meine Lösung ist:
[mm] $a=\frac{e}{68}$,
[/mm]
[mm] $b=\frac{136-19e}{68}$,
[/mm]
[mm] $c=\frac{27e-204}{68}$,
[/mm]
[mm] $d=\frac{115e-816}{68}$.
[/mm]
Nun müssen wir diese (parameterabhängigen) Werte noch in die Nebenbedingung $f''(-1)>0$ einsetzen, denn es soll dort ja ein Tiefpunkt vorliegen. Damit erhältst Du auch eine Einschränkung für das e, hier mal mein Ergebnis zur Kontrolle:
[mm] $e>\frac{34}{5}$.
[/mm]
Gruß,
Christian
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danke hab ich soweit alles verstanden nur ich weiß nicht genau wie ich das gleichungsystem in abhänigkeit von e auflösen kann. habs versucht bin aber irgendwie nicht drauf gekommen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:59 So 01.05.2005 | | Autor: | Paulus |
Lieber Christian
> danke hab ich soweit alles verstanden nur ich weiß nicht
> genau wie ich das gleichungsystem in abhänigkeit von e
> auflösen kann. habs versucht bin aber irgendwie nicht drauf
> gekommen
Dazu brauchst du nur anzunehmen, e sei fest vorgegeben. Dann heisst dein Gleichungssystem so:
$256a+64b+16c+4d=32-e_$
$a-b+c-d=7-e_$
$4a-3b+2c-d=0_$
$3a+3b+2c=0_$
Jetzt löst du das ganz einfach nach a,b,c und d auf. Das e lässt dich dabei einfach kühl, so als ob es fix vorgegeben sei! 
Mit lieben Grüssen
Paul
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