FI zwischen Graphen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die von dem Graphen der Funktion sin(x) und der Geraden [mm] y=\frac{1}{\sqrt{2}} [/mm] für x-Werte aus dem Intervall [mm] [0,\pi] [/mm] oberhalb der Geraden eingeschlossen wird. |
Hallo
die Aufgabe ist bestimmt ganz einfach, aber meine Kenntnisse zur Integration sind ganz eingestaubt :(
Muss ich zuerst den Sinus in dem angegebene Intervall integrieren und davon dann die Gerade im selben Intervall und dann den Flächeninhalt vom erstenren abziehen?
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Bestimme den Flächeninhalt der Fläche, die von dem
> Graphen der Funktion sin(x) und der Geraden
> [mm]y=\frac{1}{\sqrt{2}}[/mm] für x-Werte aus dem Intervall [mm][0,\pi][/mm]
> oberhalb der Geraden eingeschlossen wird.
> Hallo
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> die Aufgabe ist bestimmt ganz einfach, aber meine
> Kenntnisse zur Integration sind ganz eingestaubt :(
>
> Muss ich zuerst den Sinus in dem angegebene Intervall
> integrieren und davon dann die Gerade im selben Intervall
> und dann den Flächeninhalt vom erstenren abziehen?
Zuerst sind die Schnittpunkte der Funktion mit der Geraden zu berechnen.
Das machst Du indem Du die beiden gleichsetzt.
Dann kannst Du so vorgehen, wie Du beschrieben hast.
Gruss
MathePower
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Ich habe jetzt berechnet, dass die Schnittpunkte bei [mm] \pi/4 [/mm] und [mm] 3\pi/4 [/mm] liegen.
Zudem weiß ich, dass das Integral [mm] \integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}=2 [/mm] gilt und [mm] \integral_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{2}} dx}=\frac{\pi}{\sqrt{2}} [/mm] ist.
Wozu brauchte ich denn jetzt die Schnittpunkte? :o
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Ich habe jetzt berechnet, dass die Schnittpunkte bei [mm]\pi/4[/mm]
> und [mm]3\pi/4[/mm] liegen.
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> Zudem weiß ich, dass das Integral
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{sin(x) dx}=2[/mm] gilt und
> [mm]\integral_{0}^{\pi}{\frac{1}{\sqrt{2}} dx}=\frac{\pi}{\sqrt{2}}[/mm]
> ist.
>
>
> Wozu brauchte ich denn jetzt die Schnittpunkte? :o
Mit Hilfe einer Skizze siehst Du
weshalb die Schnittpunkte gebraucht werden.
Gruss
MathePower
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Hm, ich hatte ja schon eine Skizze plotten lassen und weiß ja, dass ich den FI von dem oberen "Hügelchen" des Sinus brauche, also quasi der Teil, der durch die Geraden "abgeschnitten" wird und das sind ja gerade die Schnittpunkte.
Aber in Verbindung mit dem Integral komme ich jetzt nicht weiter, weil ein Integral doch immer den FI zwischen x-Achse und Funktionsgraph angibt.
Oder muss ich jetzt diese Schnittpunkte als Grenzen bei beiden Integralen wählen und dann den Flächeninhalt vom Integral der Geraden vom anderen abziehen?
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Hallo,
wenn du das Integral in den Grenzen [mm] \bruch{1}{4}\pi [/mm] und [mm] \bruch{3}{4}\pi [/mm] berechnest, so bekommst du die blaue- UND die grüne Fläche, du brauchst aber nur die obere blaue Fläche, also subtrahiere die Fläche des grünen Rechteckes
[Dateianhang nicht öffentlich]
Steffi
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:25 Mi 09.01.2013 | | Autor: | Loddar |
Hallo!
> Wozu brauchte ich denn jetzt die Schnittpunkte? :o
Ich "petze" jetzt mal  : diese werden als Integrationsgrenzen gebraucht.
Gruß
Loddar
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Danke!
Muss es also nun so lauten?
[mm] A_1=\integral_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{sin(x) dx}=1,414213...=\sqrt{2}
[/mm]
[mm] A_2=\integral_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{3\pi}{4}}{\frac{1}{\sqrt{2}} dx}=\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\pi}{2}
[/mm]
Nun: [mm] A_1 [/mm] - [mm] A_2 [/mm] = 0,3034
Stimmt es, dass der FI [mm] A_1 [/mm] wirklich Wurzel 2 ist? Weil die Kommazahlen für mich so sehr danach aussahen :p
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Hallo, beziehe ich mich auf die Farben in meiner Skizze
[mm] A_1=\wurzel{2} [/mm] ist ok, blaue- und grüne Fläche
[mm] A_2=\bruch{\pi}{2\wurzel{2}} [/mm] ist ok, grüne Fläche
[mm] A_3=A_1-A_2=\wurzel{2}-\bruch{\pi}{2\wurzel{2}}\approx0,3035 [/mm] blaue Fläche
runde korrekt,
Steffi
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