Extremwertprobleme Aufgabe < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:45 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
| Aufgabe | | Welche oben offene Schachtel in der Form einer quadratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt 3 qubikdezimeter ein möglichst großes Fassungsvermögen? |
Ich habe bis jetzt die Extremalbedingung V= [mm] a^2*b [/mm] soll maximal werden und
die Nebenbedingung F= [mm] a^2+4ab
[/mm]
Und dann kommt auch schon das Problem, die Nebenbedingung habe ich =3 gesetzt also wegen dem Volumen von 3 kubikdezimetern... Und dann muss man die Gleichung am besten nach b auflösen aber da komme ich nicht weiter...Die Zielfunktion weiß ich auch nicht
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lena,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Zum einen hat der Flächeninhalt die Einheit [mm] $\text{\red{Quadrat}dezimeter}$ [/mm] .
Formen wir als [mm] $a^2+4*a*b [/mm] \ = \ 3$ um:
$$4*a*b \ = \ [mm] 3-a^2$$
[/mm]
$$b \ = \ [mm] \bruch{3-a^2}{4*a}$$
[/mm]
Und das nun in die Volumensformel einsetzen, und Du hast Deine Zielfunktion.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:09 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
| Aufgabe | | welche oben offene schachtel in der form einer quadratischen säule hat bei gegebenem oberflächeninhalt 3 [mm] dm^2 [/mm] ein möglichst großes fassungsvermögen? |
Da habe ich jetzt als Zielfunktion [mm] 3^2* 3-a^2
[/mm]
--------
4a
daraus muss ich ja dann die ableitungen also ´ und ´´ strich bilden aber wie mache ich das?? also eig kann ich das aber so mit´m bruch das hab ich ja noch die gesehen! HILFE!!!
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Deine Hauptbedingung ist:
V = [mm] a^{2}*b
[/mm]
Setzt du darin die umgeformte Nebenbedingung ein, erhältst du:
V = [mm] a^{2}*\bruch{3-a^{2}}{4*a}
[/mm]
Das kannst du kürzen!
V = [mm] a*(3-a^{2})
[/mm]
= 3*a - [mm] a^{3}
[/mm]
Das Volumen soll möglichst groß werden, d.h. du musst die Ableitung der Funktion berechnen und mit 0 gleichsetzen, um Extremstellen herauszubekommen.
V' = 3 - [mm] 3*a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 = 3 - [mm] 3*a^{2}
[/mm]
[mm] \gdw 3*a^{2} [/mm] = 3
[mm] \gdw a^{2} [/mm] = 1
[mm] \gdw [/mm] a = -1 oder a = 1.
Dies sind die Möglichkeiten für die Extremstellen. a = -1 kannst du sofort ausschließen, da es keine negativen Seitenlängen geben kann. Du musst nun also nur noch überprüfen, ob a = 1 wirklich ein Maximum der Funktion ist. Dazu setzt du es in die zweite Ableitung ein.
Falls die zweite Ableitung an der Stelle a = 1 größer als 0 ist, handelt es sich an der Stelle a = 1 um ein Minimum, falls die zweite Ableitung an der Stelle a = 1 kleiner als 0 ist, handelt es sich um ein Maximum.
In unserem Fall sollte als die zweite Ableitung möglichst kleiner als 0 sein, wenn wir a = 1 einsetzen:
V'' = -6*a
Einsetzen von a = 1 liefert
V''(1) = -6.
AHA! Es handelt sich um ein Maximum, d.h. a = 1 ist Lösung der Aufgabe. Mit Hilfe der Nebenbedingung kannst du nun noch b berechnen und dann ist die Aufgabe gelöst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:34 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
Danke!!! Werde mir den Lösungsweg jetzt aufschreiben und es versuchen nachzuvollziehen. aber es leuchtet mir schon ein :o) Vielen Dank für die Lösung!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
| Aufgabe | a) Welche oben offene Schachtel in der Form einer quadtratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt 3 [mm] dm^2 [/mm] ein möglichst großes Fassungsvermögen? ( ist beantwortet)
b) Löse Teilaufgabe a) falls die Schachtel anstatt nach oben nach vorn geöffnet ist. In welchen Verhältnis stehen jetzt Höhe und Breite der quadratischen Säule?? |
Was genau ist denn die nicht umgeformte Nebebedingung?? Ist das gar nich F= [mm] a^2+4ab??
[/mm]
Verstehe nämlich nicht wie die umgeformt wurde.
Dann hätte ich gerne noch eine Lösung für Teilaufgabe b) da sitze ich jetzt schon eine Stunde dran und kapiere das nicht!!!
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Hallo,
ich denke , du bist bis an diese Stelle gekommen
[mm] V(a)=a^{2}\bruch{3-a^{2}}{4a}
[/mm]
[mm] V(a)=\bruch{a(3-a^{2})}{4}
[/mm]
[mm] V(a)=\bruch{3}{4}a-\bruch{1}{4}a^{3}
[/mm]
1. Ableitung bilden
[mm] V'(a)=\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}a^{2}
[/mm]
1. Ableitung gleich Null setzen
[mm] 0=\bruch{3}{4}-\bruch{3}{4}a^{2}
[/mm]
[mm] 0=3-3a^{2}
[/mm]
[mm] 0=3a^{2}-3
[/mm]
[mm] 0=a^{2}-1
[/mm]
so jetzt du
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:47 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
wenn man die erste ableitung null setzt muss da doch ein ergebnis also die mögliche extremstelle(n) rauskommen aber bei deiner rechnung kommt da keins raus?!
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Hallo Lena!
Steffi hat es dir doch fast bis zum Ende vorgerechnet (und ganz oben ist gar der vollständige Rechenweg).
Du musst nun die Gleichung [mm] $a^2-1 [/mm] \ = \ 0$ nach $a \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:52 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
also a=1?
eins auf die andere seite bringen dann bleibt [mm] a^2
[/mm]
dann die wurzel ziehen und die wurzel aus 1 ist 1 aber kann 1 stimmen???
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:54 Do 31.01.2008 | | Autor: | Steffi21 |
korrekt, a=1, bedenke aber a=-1 ist auch mathematisch möglich, denn (-1)*(-1)=1, geometrisch aber wenig sinnvoll, steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:59 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
dann setzte ich jetzt in die zweite ableitung -6/4a die eins ein und da das kleiner als null ist es ein hochpunkt
dann setze ich in die nebenbedingung die 1 anstelle von a ein??
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Hallo Lena!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Genau so ...
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:04 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
gut und was muss ich dann bei teilaufgabe b) machen??
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Hallo, jetzt ändert sich die Gleichung für die Oberfläche, du hast:
eine Grundfläche, Quadrat
eine Deckfläche (Kiste ist oben zu), Quadrat
drei Seitenflächen (kiste ist ja vorne offen), jeweils einrechteck
versuche mal die Gleichung zu finden,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:20 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
F= [mm] 2a^2+3ab [/mm] vielleicht? ich habe echt keine ahnung
nochmal eine frage zu a) wenn ich a in die Nebenbedingung F= [mm] a^2+4ab [/mm] einsetze muss ich das dann nach b auflösen?? und ist F auch die 3 [mm] dm^2 [/mm] oder was sind die [mm] 3dm^2?
[/mm]
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Hallo, [mm] 2a^{2}+3ab [/mm] ist korrekt,
zum 1. Teil noch, du hst doch schon eine umgestellte Gleichung b= ..., dort a=1 einsetzen und b ausrechnen,
Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:26 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
und jetzt kann ich mit dieser formel die aufgabe nach dem schema der anderen aufgabe ausrechnen?? das müsste ich hinbekommen!
Also muss ich da bei der Nebenbedingung F also die Fläche ausrechnen??
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Hallo Lena!
> und jetzt kann ich mit dieser formel die aufgabe nach dem
> schema der anderen aufgabe ausrechnen?? das müsste ich
> hinbekommen!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Genau!
> Also muss ich da bei der Nebenbedingung F also die Fläche
> ausrechnen??
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Die Fläche ist doch bereits gegeben mit $F \ = \ 3 \ [mm] \text{dm}^2$ [/mm] .
Du musst die Nebendingung wieder nach $b \ = \ ...$ umformen und in die Volumenformel $V \ = \ [mm] a^2*b$ [/mm] einsetzen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
ich habe bei a)in die nebenbedingung [mm] F=a^2+4ab [/mm]
F= [mm] 1^2+4*1*(3-1^2/4*1) [/mm] eingesetzt und da kommt dann 68,75 raus kann das sein??
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Hallo,
[mm] F=a^{2}+4ab
[/mm]
[mm] 3dm^{2}=a^{2}+4ab
[/mm]
die Fläche war doch gegeben, mit der Nebenbedingung können wir b berechnen,
[mm] b=\bruch{3dm^{2}-a^{2}}{4a}
[/mm]
hatten wir schon umgestellt, a=1dm einsetzen
[mm] b=\bruch{3dm^{2}-(1dm)^{2}}{4*1dm}
[/mm]
[mm] b=\bruch{2dm^{2}}{4dm}
[/mm]
b=0,5dm
somit
[mm] V=a^{2}*b
[/mm]
[mm] V=(1dm)^{2}*0,5dm
[/mm]
[mm] V=0,5dm^{3}
[/mm]
Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:55 Fr 01.02.2008 | | Autor: | Lena.H |
Habe die Aufgabe gestern abend noch komplett gelöst und heute wurde sie eingesammelt zum korrigieren. Sah aber gut aus! Hatte auch ein Volumen von 0,5 raus :o)
Nochmal DANKE für eure Hilfe, auch wenn´s nich ganz einfach war mit meinen Mathedefiziten!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:55 Do 31.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Lena!
> also a=1?
> eins auf die andere seite bringen dann bleibt [mm]a^2[/mm]
> dann die wurzel ziehen und die wurzel aus 1 ist 1
Es kommen mit [mm] $a_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \red{\pm} [/mm] \ 1$ rechnerisch sogar zwei Lösungen heraus. Aber da hier ja $a \ > \ 0$ gelten muss, entfällt der negative Wert.
> aber kann 1 stimmen???
Warum nicht? Was stört Dich daran?
Gruß vom
Roadrunner
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 20:13 Do 31.01.2008 | | Autor: | Adamantin |
> Deine Hauptbedingung ist:
>
> V = [mm]a^{2}*b[/mm]
>
> Setzt du darin die umgeformte Nebenbedingung ein, erhältst
> du:
>
> V = [mm]a^{2}*\bruch{3-a^{2}}{4*a}[/mm]
>
> Das kannst du kürzen!
>
> V = [mm]a*(3-a^{2})[/mm]
Wo ist denn hier die 4 geblieben?
Ich fürchte, damit ist die gesamte Rechnung falsch
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 20:34 Do 31.01.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Adamantin!
Du hast natürlich Recht mit dem Faktor [mm] $\bruch{1}{4}$ [/mm] . An dem Ergebnis für das $a_$ bzw. $b_$ wird es jedochj nichts ändern, da der Faktor auch beim Ableiten erhalten bleibt.
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:18 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
Ja das hat mich auch gewundert, deswegen konnte ich das gerade beim abschreiben auch nicht nachvollziehen. Kann mir einer helfen, das richtig zu rechnen?
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:22 Do 31.01.2008 | | Autor: | Lena.H |
| Aufgabe | Aufgabe
a) Welche oben offene Schachtel in der Form einer quadtratischen Säule hat bei gegebenem Oberflächeninhalt 3 ein möglichst großes Fassungsvermögen? ( ist beantwortet)
b) Löse Teilaufgabe a) falls die Schachtel anstatt nach oben nach vorn geöffnet ist. In welchen Verhältnis stehen jetzt Höhe und Breite der quadratischen Säule??
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Wer kann mir diese zwei Aufgaben lösen???
Ich komme damit nicht klar ^^
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:36 Do 31.01.2008 | | Autor: | Steffi21 |
Vorschlag: DU löst den 1. Teil vollständig, stelle mal bitte dazu dein Endergebnis vor, vorrechnen und abschreiben ist nicht, du möchtest doch die Aufgaben verstehen, das funktioniert aber nicht mit abschreiben, hast du den 1. Teil VERSTANDEN, ist es dann nicht mehr weit zum 2. Teil, Steffi
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