Extremwertproblem und Integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:09 So 18.06.2006 | | Autor: | Dally |
| Aufgabe | Gegegen sei die Funktionschar [mm]f_{k}: [0,\infty[ \to [0, \infty[, f_{k}(x) := xe^{\bruch{-x}{k} - k}[/mm] für [mm]k \in ]0, \infty[[/mm].
Bestimmen Sie denjenigen Wert für k, so dass diese Fläche maximal wird. |
Zuerst hab ich die Fläche A(k,a) berechnet (partielle Integration):
[mm]f(x) = x*e^{-\bruch{x}{k} - k}, f(x) = x [/mm]
[mm]g'(x) = e^{-\bruch{x}{k} - k}, g(x) = - k*e^{-\bruch{x}{k} - k}[/mm]
[mm]A = \integral_{0}^{a}{x*e^{-\bruch{x}{k} - k} dx}
= \left[x*(-k)*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right]_{0}^{a} - \integral_{0}^{a}{1*e^{-\bruch{x}{k} - k} dx}[/mm]
[mm]= \left[- \left( x*k*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right) \right]_{0}^{a} + \left[k*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right]_{0}^{a}[/mm]
[mm]= -a*k*e^{-\bruch{a}{k} - k} + k*e^{-\bruch{a}{k} - k} - k*e^{-k}[/mm]
[mm]G(k) = -a*k*e^{-\bruch{a}{k} - k} + k*e^{-\bruch{a}{k} - k} - k*e^{-k}[/mm]
[mm] \limes_{a\rightarrow\infty}G(k) = -k^{2}*e^{-k}[/mm]
Und jetzt nur noch die Funktion G(k) maximieren?
Ist das soweit korrekt?
Danke schonmal im Vorraus.
Mfg
Daniel
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:13 So 18.06.2006 | | Autor: | M.Rex |
> Gegegen sei die Funktionschar [mm]f_{k}: [0,\infty[ \to [0, \infty[, f_{k}(x) := xe^{\bruch{-x}{k} - k}[/mm]
> für [mm]k \in ]0, \infty[[/mm].
> Bestimmen Sie denjenigen Wert für
> k, so dass diese Fläche maximal wird.
> Zuerst hab ich die Fläche A(k,a) berechnet (partielle
> Integration):
>
> [mm]f(x) = x*e^{-\bruch{x}{k} - k}, f(x) = x [/mm]
> [mm]g'(x) = e^{-\bruch{x}{k} - k}, g(x) = - k*e^{-\bruch{x}{k} - k}[/mm]
>
> [mm]A = \integral_{0}^{a}{x*e^{-\bruch{x}{k} - k} dx}
= \left[x*(-k)*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right]_{0}^{a} - \integral_{0}^{a}{1*e^{-\bruch{x}{k} - k} dx}[/mm]
>
> [mm]= \left[- \left( x*k*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right) \right]_{0}^{a} + \left[k*e^{-\bruch{x}{k} - k}\right]_{0}^{a}[/mm]
>
> [mm]= -a*k*e^{-\bruch{a}{k} - k} + k*e^{-\bruch{a}{k} - k} - k*e^{-k}[/mm]
>
>
> [mm]G(k) = -a*k*e^{-\bruch{a}{k} - k} + k*e^{-\bruch{a}{k} - k} - k*e^{-k}[/mm]
>
> [mm]\limes_{a\rightarrow\infty}G(k) = -k^{2}*e^{-k}[/mm]
> Und jetzt
> nur noch die Funktion G(k) maximieren?
> Ist das soweit korrekt?
Yep, korrekt. Aber brauchst du die Grenzwertbetrachtung wirklich? Ich meine, es geht auch ohne, dann musst du a als Parameter betrachten.
> Danke schonmal im Vorraus.
>
> Mfg
>
> Daniel
Dann viel Erfolg beim berechnen der Extrempunkte.
Marius
> (Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.)
>
|
|
|
|
