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Extremwertproblem!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:24 Do 27.11.2003
Autor: DerHochpunkt

Hallo Leute! Bin durch Zufall auf dieses Forum gestolpert und hoffe wirklich sehr, dass ihr mir helfen könnt. Ich habe hier eine Aufgabenstellung (zu morgen) zu lösen aus der ich nicht ganz klug werde:

"Welches Rechteck mit dem Umfang 30 cm hat die kürzeste Diagonale?
(Anleitung: Bei dem gesuchten Rechteck hat das Quadrat über der Diagonalen minimalen Flächeninhalt.)"

So das wär's. Bitte löst das nicht gleich, mehr würde mir eine Idee zur Lösung helfen. Beste Grüße, Niklas


        
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Extremwertproblem!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:10 Do 27.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Niklas,

also, was brauchen wir?

1) zwei Variablen

2) eine Zielfunktion, die minimiert (oder maximiert, hier aber minimiert) werden muss

3) eine Nebenbedingung


Hier die Ideen:

zu 1) die Längen der beiden Seiten des Rechtecks, wir bezeichnen sie mit [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm]

zu 2) eigentlich [mm]d[/mm], die Länge der Diagonale, die ja von den Längen der Seiten abhängt, daher bezeichnen wir sie mit [mm]d(x,y)[/mm].
Nach dem Tipp der Aufgabe ist aber [mm]d(x,y)[/mm] genau dann minimal, wenn die Fläche des Quadrates über dieser Diagonalen minimal ist, also genau dann, wenn [mm]d^2(x,y)[/mm] minimal ist. Nun ja, wie können wir nun [mm]d^2(x,y)[/mm]  mit Hilfe von [mm]x[/mm] und [mm]y[/mm] ausdrücken? Es gibt da so einen netten Satz, er fängt mit "P" an und hört mit "ythagoras" auf. ;-)

zu 3) Die Nebenbedingung ist: [mm]2x+2y=30[/mm].

Was musst du nun tun?

a) eine konkrete Formel für [mm]d^2(x,y)[/mm] aufstellen
b) die Nebenbedingung in diese Funktion einsetzen, so dass du nur noch eine Funktion hast, die von [mm]x[/mm] (oder [mm]y[/mm]) abhängt.
c) Das Extremum dieser Funktion bestimmen.

Versuche es mal und melde dich mit einem Ergebnis (inklusive Zwischenergebnissen) oder mit Fragen.

Alles Gute und viel Erfolg! :-)
Stefan


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Extremwertproblem!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:12 Do 27.11.2003
Autor: DerHochpunkt

Hi Stefan! Erstmal danke für die Hilfe! Allerdings hab ich beim Rechnen noch ein paar Probleme...

a ist x (Länge des Rechtecks)
b ist y (Breite des Rechtecks)
HB: d²(a,b) = a² + b²
NB: 30 = 2a + 2 b -> b  = 15- a

nun einsetzen...

d²(a,b) = a² + (15 - a)²
d²(a,b) = a² + 225 - 30a +a²
d²(a,b) = 2a² -30a +225

erste ableitung
d²'(a,b) = 4a - 30

dann bekomme ich a = 7,5 cm raus. hm... das kanns aber auch nicht sein, weil b dann ebenfalls 7,5 cm wäre, weil 30 cm = 2(a+b).

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Extremwertproblem!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:28 Do 27.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Niklas,

und warum kann das nicht sein? ;-)

Es stimmt doch alles. :-) Jetzt musst du nur noch überprüfen, ob es sich tatsächlich um ein lokales Minimum handelt. Wie geht das? Mach mal einen Vorschlag! Und dann schaust du noch, ob es auch ein globales Minimum ist, indem du noch die beiden Randwerte (a=0 und a=15) einsetzt (auch wenn man dann nur ein "unechtes" Rechteck erhält, nämlich eine Strecke der Länge 15 und die "Diagonale" dann gerade gleich dieser Strecke ist, aber diese Überlegung sichert dir, dass die Funktion nicht minimal wird, wenn man sie gegen den Rand des Definitionsbereiches laufen lässt) .

Alles klar?
Stefan


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Extremwertproblem!: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:35 Do 27.11.2003
Autor: DerHochpunkt

Prüfen des Minimums:

f'' (a) > 0 -> Minimum

danke für die hilfe. wenn man es von der logischen seite betrachtet, ist es ja klar, das die diagonale beim quadrat am kleinsten ist. die sache mit dem rechteck hat mich halt ein bissi verwirrt.

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Extremwertproblem!: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:42 Do 27.11.2003
Autor: Stefan

Hallo Niklas,

> Prüfen des Minimums:
>
> f'' (a) > 0 -> Minimum

Richtig, und hier ist [mm](d^2)''(7,5)=4[/mm].

Und jetzt noch für [mm]a[/mm] die Randpunkte [mm]a=0[/mm] und [mm]a=15[/mm] einsetzen, dann sieht man, dass dann [mm]d^2(a)[/mm] beides Mal gleich [mm]225[/mm] ist und damit größer als der Wert für [mm]a=7,5[/mm]. Klar?

> danke für die hilfe.

Gern geschehen! :-)

> wenn man es von der logischen seite
> betrachtet, ist es ja klar, das die diagonale beim quadrat am
> kleinsten ist.

Sehr gut reflektiert!

Alles Gute
Stefan


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Extremwertproblem!: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 21:05 Mo 29.08.2005
Autor: GigiRiva

Mein Ansatz war wie folgt:
1. c = [mm] \wurzel{( a² + b²)} [/mm] und
2. U = 2a + 2 b = 30

Da die kürzeste Diagonale gesucht war habe ich die Funktion c' abgeleitet

c' = [mm] \bruch [/mm] {1}{2} (a² + (15 - [mm] a)²)^{-1/2} [/mm]
c' = [mm] \bruch [/mm] {1}{2} (a² + 225 - 30a + [mm] a²)^{-1/2} [/mm]
c' = [mm] \bruch [/mm] {1}{2} (2a² - 30a + [mm] 225)^{-1/2} [/mm]

Leider kann ich diese Formel nicht weiter vereinfachen.
Wer kann mir weiterhelfen

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Extremwertproblem!: innere Ableitung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:12 Mo 29.08.2005
Autor: Loddar

Hallo GigiRiva,

[willkommenmr] !!


> Mein Ansatz war wie folgt:
> 1. c = [mm]\wurzel{( a² + b²)}[/mm] und
> 2. U = 2a + 2 b = 30

[ok]

  

> Da die kürzeste Diagonale gesucht war habe ich die Funktion
> c' abgeleitet

[ok] Man könnte es sich auch etwas einfacher machen und [mm] $c^2(a) [/mm] \ = \ [mm] a^2-(15-a)^2$ [/mm] betrachten.

Durch die (strenge) Monotonie der Wurzelfunktion ist auch dort die (Gesamt-)Funktion maximal, wo das Wurzelargument maximal ist.


> c' = [mm]\bruch[/mm] {1}{2} (a² + (15 - [mm]a)²)^{-1/2}[/mm]

[notok] Hier hast Du die innere Ableitung gemäß der MBKettenregel unterschlagen/vergessen.

Es fehlt noch als Faktor [mm] $\left( \ 2a^2-30a +225 \ \right)' [/mm] \ = \ ...$


Dann sollte die Nullstellenbestimmung der 1. Ableitung auch kein größeres Problem mehr darstellen, oder?


Gruß
Loddar


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