Extremwertproblem < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 12.05.2006 | | Autor: | Amy1988 |
| Aufgabe 1 | Ein Bauer stellt die Käfighaltung ein.
Sechs verschiedene Rassen Legehennen sind getrennt in einem Gehege unterzubringen.
Der Außenzaun kostet pro Meter 20 Euro, der Innenzaun ist etwas billiger und kostet 5 Euro pro Meter.
a) Der Bauer hat 600 Euro zur Verfügung und möchte damit ein Möglichst großes Rechteck einzäunen.
b) Der Nachbar des Bauern will ebenfalls ein solches Freigehege für seine sechs Hühnervölkchen einrichten. Er überschlägt, dass er 90 [mm] m^2 [/mm] Fläche braucht. Natürlich möchte er für die Fläche möglichst wenig bezahlen. |
| Aufgabe 2 | Ein rechteckiges Gelände wurde jahrelang als Basketballplatz genutzt, seine Abmessungen sind a=40m und b=28m.
Nun soll aber ein neu angelegter Weg eine Ecke abschneiden, 12m von der Länge und 8m von der Breite. Das Planungamt möchte den Basketballplatz erhalten und auf dem Rest des Grundstücks ein Rechteck mit größtmöglichem Flächeninhalt einzäunen. |
Hallo ihr Lieben,
also ich brauche mal wieder eure Hilfe - dringend!!!
Zu Aufgabe 1 habe ich auch schon Ansätze oder besser den Aufgabenteil a. Bei b komme ich jetzt aber nicht weiter und bei Aufagbe 2 habe ich so gut wie nichts...
AUFGABE 1
....................
a)
600 = 2a*20 + 5a + 2b*20 + 2b*5
600 = 45a + 50b
=> b = 12 - 9/10 a
A = a*b
A(a) = a (12 - 9/10 a)
A(a) = [mm] -9/10a^2 [/mm] + 12a
A´(a) = -9/5 a + 12
A´´(a) = -9/5
EXTREMA: A´(a) = 0 und A´´(a) [mm] \not= [/mm] 0
- 9/5a + 12 = 0
a = 20/3
b = 6
Ist das soweit richtig? Und wie gehe ich an den Teil b ran?
AUFGABE 2
..................
A = a*b
A = 1120
f(x) = mx + b
Das ist nicht viel, aber weiter weiß ich bei dieser Aufagbe wirklich nicht...
Ich hoffe es gibt jemanden, der mir hilft...
DANKE
Amy
|
|
| |
|
Hallo Amy,
| Aufgabe | Ein Bauer stellt die Käfighaltung ein.
Sechs verschiedene Rassen Legehennen sind getrennt in einem Gehege unterzubringen.
Der Außenzaun kostet pro Meter 20 Euro, der Innenzaun ist etwas billiger und kostet 5 Euro pro Meter.
a) Der Bauer hat 600 Euro zur Verfügung und möchte damit ein Möglichst großes Rechteck einzäunen.
b) Der Nachbar des Bauern will ebenfalls ein solches Freigehege für seine sechs Hühnervölkchen einrichten. Er überschlägt, dass er 90 $ [mm] m^2 [/mm] $ Fläche braucht. Natürlich möchte er für die Fläche möglichst wenig bezahlen. |
> Hallo ihr Lieben,
>
> also ich brauche mal wieder eure Hilfe - dringend!!!
> Zu Aufgabe 1 habe ich auch schon Ansätze oder besser den
> Aufgabenteil a. Bei b komme ich jetzt aber nicht weiter und
> bei Aufagbe 2 habe ich so gut wie nichts...
>
> AUFGABE 1
> ....................
>
> a)
> 600 = 2a*20 + 5a + 2b*20 + 2b*5
Mit deinem Ansatz hast du korrekt gerechnet. 
Wie groß ist denn die Fläche nun?
> 600 = 45a + 50b
>
> => b = 12 - 9/10 a
>
> A = a*b
> A(a) = a (12 - 9/10 a)
> A(a) = [mm]-9/10a^2[/mm] + 12a
> A´(a) = -9/5 a + 12
> A´´(a) = -9/5
>
> EXTREMA: A´(a) = 0 und A´´(a) [mm]\not=[/mm] 0
> - 9/5a + 12 = 0
> a = 20/3
> b = 6
>
> Ist das soweit richtig? Und wie gehe ich an den Teil b ran?
Das ist doch "fast" dieselbe Aufgabe!
Die Preise sind dieselben, die Einteilung wohl auch, nur die Fläche ist bereits gegeben: 90 [mm] m^2.
[/mm]
Was kannst du denn noch variieren, damit der Preis möglichst klein wird?
Bei gegebener Fläche ist das wohl die Länge des Zauns außen und innen, oder?
Schreib mal einen Ansatz auf!
Gruß informix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Fr 12.05.2006 | | Autor: | M.Rex |
> b) Der Nachbar des Bauern will ebenfalls ein solches
> Freigehege für seine sechs Hühnervölkchen einrichten. Er
> überschlägt, dass er 90 [mm]m^2[/mm] Fläche braucht. Natürlich
> möchte er für die Fläche möglichst wenig bezahlen.
Hallo Amy,
Diese Aufgabe funktioniert ähnlich wie Aufgabe a) Dieses Mal hast du den Flächeninhalt für sechs Hühnervolker gegeben und willst mit möglichst wenig Zaun auskommen.
Zuerst einmal reduziere das Problem mal auf ein Feld. Dieses ist dann /bruch{90}{15} = 6 m² gross.
Für dieses Feld gilt weiterhin A = a * b [mm] \gdw [/mm] a = [mm] \bruch{A}{b} [/mm] .
Nun gilt für den Umfang des Feldes u = 2a + 2b . Mit a = [mm] \bruch{A}{b} [/mm] erhältst du u(b) = 2b + 2 [mm] \bruch{A}{b} [/mm] .
Mit deinen Werten (A = 6) u(b) = 2b + [mm] \bruch{12}{b} [/mm] .
Das ganze ist deine Zielfunktion. Von dieser musst du noch den Tiefpunkt ausrechnen.
Für die Gesamtkosten musst du nur noch das Ergebnis mit 6 multiplizieren und "doppelt gezählte Innenzäune" abziehen.
Ich hoffe, das hilft ein wenig weiter.
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo ihr 2!
Ihr habt mir bei Aufgabe 1 wirklich gut weitergeholfen, aber zu Aufgabe 2 habe ich leider noch nicht so viel erfahren, darum habe ich die Frage nochmal als unbeantwortet gekennzeichnet =)
Vielleicht könnt ihr mir ja da auch weiterhelfen?!
AMY
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Ein rechteckiges Gelände wurde jahrelang als
> Basketballplatz genutzt, seine Abmessungen sind a=40m und
> b=28m.
> Nun soll aber ein neu angelegter Weg eine Ecke
> abschneiden, 12m von der Länge und 8m von der Breite. Das
> Planungamt möchte den Basketballplatz erhalten und auf dem
> Rest des Grundstücks ein Rechteck mit größtmöglichem
> Flächeninhalt einzäunen.
Hallo Amy.
>
> AUFGABE 2
> ..................
>
> A = a*b
> A = 1120
Damit wirst du nicht viel anfangen können, da das der Flächeninhalt des alten Rechtecks ist.
> f(x) = mx + b
Das sieht aber schon sehr schön aus.
> Das ist nicht viel, aber weiter weiß ich bei dieser Aufagbe
> wirklich nicht...
Unsere Zielfunktion ist [mm] $A=a\cdot [/mm] b$
Eine Skizze sollte dir verdeutlichen, dass wenn du das Rechteck mit den Maßen [mm] $40\times [/mm] 28$ in ein Koordinatensystem packst, der Flächeninhalt sich berechnet durch
[mm] $A=x\cdot [/mm] f(x)$
Für das alte Rechteck hast du das ja schon gemacht. Allerdings bekommen wir nun den Weg, sodass von x 12 Einheiten weggeschnitten werden und von f(X) 8 Einheiten.
Die aufzustellende Geradengleichung muss daher durch die Punkte A(0|8) und B(12|0) gehen.
Wenn unsere Geradengleichung
$y= [mm] m\cdot [/mm] x+b$ lautet, wird diese zu unserer Nebenbedingung
Denn für die Zielfunktion ergibt sich auf einmal:
[mm] $A=x\cdot [/mm] y$
Okay?
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:56 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Hey Disap,
nett, dass du dich dem Problem angenommen hast =)
Also, das was du bisher erklärt hast, habe ich soweit verstanden...
Aber ich muss sagen, dass ich zur Zeit einen totalen Blackout habe, wie ich die Geradengleichung jetzt mit den beiden Punkten, die wir haben in Verbindung setzte...
Kannst du mir da nochmal helfen?
AMY
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:03 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Disap |
> Hey Disap,
Hallo Amy1988.
> nett, dass du dich dem Problem angenommen hast =)
Jau 
>
> Also, das was du bisher erklärt hast, habe ich soweit
> verstanden...
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
> Aber ich muss sagen, dass ich zur Zeit einen totalen
> Blackout habe, wie ich die Geradengleichung jetzt mit den
> beiden Punkten, die wir haben in Verbindung setzte...
> Kannst du mir da nochmal helfen?
Die Punkte A(0|8) und B(12|0) reichen, um eine Geradengleichung zu erstellen.
$y=mx+b$
Entweder setzt du die beiden Punkte ein
A:
I $8=m*0+b [mm] \Rightarrow [/mm] b=8 [mm] \Rightarrow [/mm] y=mx+8$
B:
II $0=m*12+8 || -8$
$-8=m*12 ||:12$
[mm] $m=-\br{8}{12} [/mm] = - [mm] \br{2}{3}$
[/mm]
$y=- [mm] \br{2}{3}+b$
[/mm]
oder du kannst für die Steigung m auch die Formel: [mm] $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ [/mm] benutzen
[mm] $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} [/mm] = [mm] \frac{0-8}{12-0}=-\frac{8}{12}$
[/mm]
Das fehlende B würde man in diesem Ansatz bekommen, indem man es in die halbfertige Geradengleichung [mm] $y=-\frac{8}{12}x+b$ [/mm] einsetzt. Aber oben steht ja schon, wie die Gerade richtig lautet.
Oder wolltest du wissen, wie man auf die Punkte kommt? Dann eben noch einmal bitte eine Mitteilung schreiben (dann hätte ich die Frage nämlich leider falsch verstanden)
LG
Disap
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:13 Sa 13.05.2006 | | Autor: | Amy1988 |
Nein, du hast die Frage schon richtig verst5anden.
Und du hast mir sehr geholfen - danke!!!
AMY
|
|
|
|
