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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:36 Mi 22.09.2010 | | Autor: | Selageth |
| Aufgabe | Sei eine Funktion f(x) = [mm] -a*x^2+b [/mm] gegeben.
Ferner sei ein Rechteck gegeben, dessen untere linke Ecke an den Koordinaten (0,0) und dessen obere rechte Ecke auf dem Graphen der Funktion liegt.
Wenn die Fläche des Rechtecks maximiert werden soll, auf welchen Koordinaten liegt dann die obere rechte Ecke? |
Hallo zusammen!
Bei der Aufgabe bin ich fast bis zum Ende gekommen, doch die Y-Koordinate der oberen rechten Ecke gibt mir noch Rätsel auf. Ich bin wie folgt vorgegangen:
Das Rechteck befindet sich "unter" dem Graphen, der relativ schnell und steil abfällt. Die Breite des Rechtecks ist ein gegebenes x, die Länge entsprechend f(x).
Die Fläche bestimmt sich demnach aus x*f(x), also durch:
[mm] x*(-a*x^2+b) [/mm] = A(x)
Da es sich um eine Extremwertaufgabe handelt müssen hier noch die beiden Ableitungen bestimmt werden, also:
A'(x) = [mm] -3*a*x^2+b
[/mm]
A''(x) = -6*a*x+b
Erste Ableitung Null setzen und nach x auflösen ergibt:
x = [mm] \pm \wurzel{\bruch{b}{3a}}
[/mm]
Da wir eine Koordinate suchen die im positiven Bereich liegt (Ecke "oben rechts"), fällt die negative Lösung für die Wurzel flach und es bleibt:
x = [mm] \wurzel{\bruch{b}{3a}}
[/mm]
Doch hier hapert es nun. Ich weiß nicht genau wie ich nun noch auf die y-Koordinate des Punktes schließen soll. Muss ich das Ergebnis für die x-Koordinate evtl. irgendwo einsetzen?
Wäre dankbar für jeden Hinweis. :)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das [mm]... \ + b[/mm] ist zuviel.
