Extremwerte < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:36 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
| Aufgabe | | [mm] f(x,y)=\bruch{x-2}{y^2+1}-\bruch{1}{8}x^2 [/mm] |
Hallo liebes Mathe-Raum-Team,
ich habe folgende Lösung ermittelt und wollte sie mal von Kundigen Leuten Bewerten lassen. Wichtig sind mir dabei die Formfehler, auf die bei uns größten Wert gelegt wird.
fx(x,y)= [mm] \bruch{u' v - u v'}{v^2}= \bruch{(x-2)'(y^2+1)-(x-2)(y^2+1)'}{(y^2+1)^2}- (\bruch{1}{8}x^2)'= \bruch{1 (y^2+1)-(x-2) 0}{(y^2+1)^2}- \bruch{1}{4}x= \bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{4}x
[/mm]
fy(x,y)= [mm] \bruch{u' v - u v'}{v^2}= \bruch{(x-2)'(y^2+1)-(x-2)(y^2+1)'}{(y^2+1)^2}- (\bruch{1}{8}x^2)'= \bruch{0 (y^2+1)-(x-2) 2y}{(y^2+1)^2}= \bruch{2y (x-2)}{(y^2+1)^2}
[/mm]
Nullstellen von fx(x,y) mit x=2
[mm] \bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{4}x [/mm] =0
[mm] \bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{2}=0
[/mm]
[mm] \bruch{1}{y^2+1}= \bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] y^2+1 [/mm] =2
[mm] y^2 [/mm] = 1
[mm] y_{1}=1 [/mm]
[mm] y_{2}=-1 [/mm]
[mm] \vec{a_{1}}= \vektor{2 \\ 1}
[/mm]
[mm] \vec{a_{2}}= \vektor{2 \\ -1}
[/mm]
Nullstellen von fx(x,y) mit y=0
[mm] \bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{4}x [/mm] =0
1- [mm] \bruch{1}{4}x [/mm] =0
[mm] -\bruch{1}{4}x [/mm] =-1
x=4
[mm] \vec{a_{3}}= \vektor{4 \\ 0}
[/mm]
Bewertung der gefundenen Punkte
[mm] fxx(x,y)=(\bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{4}x)'=-\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] fyy(x,y)=(\bruch{2y (x-2)}{(y^2+1)^2})' =\bruch{(2y (x-2))' (y^2+1)^2-(2y (x-2)) ((y^2+1)^2)'}{(y^2+1)^4} [/mm] = [mm] \bruch{(2(x-2)) (y^2+1)^2-(2y (x-2)) (2(y^2+1) 2y)}{(y^2+1)^4} =\bruch{(2(x-2)) (y^2+1)^2}{(y^2+1)^4}-\bruch{(2y (x-2)) (2(y^2+1)2y)}{(y^2+1)^4}=\bruch{2(x-2)}{(y^2+1)^2}-\bruch{8y^2 (x-2)}{(y^2+1)^3}
[/mm]
[mm] fxy(x,y)=(\bruch{1}{y^2+1}- \bruch{1}{4}x)'=\bruch{(1)' (y^2+1)- (1) (y^2+1)'}{(y^2+1)^2}- (\bruch{1}{4}x)'= \bruch{(0) (y^2+1)- (1) (2y)}{(y^2+1)^2}= \bruch{2y}{(y^2+1)^2}
[/mm]
[mm] \Delta_{f(\vec{a_{1})}}=fxx(2,1)* [/mm] fyy(2,1)- [mm] (fxy(2,1))^2= -\bruch{1}{4} [/mm] * 0 - [mm] (-\bruch{1}{4}) [/mm] > 0 &fxx(2,1)<0 d.h. Es liegt ein lokales Maximum bei [mm] \vec{a_{1}} [/mm] vor.
[mm] \Delta_{f(\vec{a_{2})}}=fxx(2,-1)* [/mm] fyy(2,-1)- [mm] (fxy(2,-1))^2= -\bruch{1}{4} [/mm] * 0 - [mm] \bruch{1}{4} [/mm] < 0 d.h. Kein Extremwert
[mm] \Delta_{f(\vec{a_{3})}}=fxx(4,0)* [/mm] fyy(4,0)- [mm] (fxy(4,0))^2= -\bruch{1}{4} [/mm] * 4 - 0 < 0 d.h. Kein Extremwert
Ich würde mich sehr über eine Antwort freuen.
danke
egmont
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:49 Di 12.01.2010 | | Autor: | fred97 |
Alles bestens
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:56 Di 12.01.2010 | | Autor: | egmont |
Dankeschön fürs nachsehen
|
|
|
|
