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| Aufgabe | | M:= {(x,y,z] [mm] \in [/mm] R hoch 2, [mm] 2x^{2} [/mm] + 3 [mm] y^{2} [/mm] + 6 [mm] z^{2}= [/mm] 1 } und sei H: R hoch 3 --> R , (x,y,z) -> [mm] y^{2} [/mm] + 4 [mm] z^{2} [/mm] - 4yz - 2xz - 2xy. |
Hallo,
ich möchte gerne mithilfe des Langrange Verfahrens die Extremwerte unter der vorliegenden Nebenbedingungen ausrechnen. Allerdings hat unser Prof das so umstndlich erklärt und auch aufgeschrieben, dass es kaum zu verstehen war. Kann mir das vielleicht jemand an diesem Beispiel erklären, wie man da vorgeht? Das wäre super lieb. Danke schon mal.
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Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> M:= {(x,y,z] [mm]\in[/mm] R hoch 2, [mm]2x^{2}[/mm] + 3 [mm]y^{2}[/mm] + 6 [mm]z^{2}=[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
1 }
> und sei H: R hoch 3 --> R , (x,y,z) -> [mm]y^{2}[/mm] + 4 [mm]z^{2}[/mm] -
> 4yz - 2xz - 2xy.
Hallo,
ich finde, nachdem Du hier über 100 Artikel geschrieben hast, könnte man erwarten, daß Du Dich mal mit der Formeleingabe auseinandersetzt und gescheite Exponenten produzierst.
Auch ein schickes [mm] \IR [/mm] steht bie den Eingabehilfen mundgerecht bereit.
Du möchtest doch sicher auch, daß wir uns beim Antworten etwas Mühe geben.(?)
Daß M eine Teilmenge des [mm] \IR^{\red{2}} [/mm] ist, wage ich übrigens zu bezweifeln...
> ich möchte gerne mithilfe des Langrange Verfahrens die
> Extremwerte unter der vorliegenden Nebenbedingungen
> ausrechnen. Allerdings hat unser Prof das so umstndlich
> erklärt und auch aufgeschrieben, dass es kaum zu verstehen
> war. Kann mir das vielleicht jemand an diesem Beispiel
> erklären, wie man da vorgeht?
Zunächst mal ist die Lagrangefunktion [mm] L(x,y,z,\lambda) [/mm] aufzustellen, hierfür wird eine Hilfsvariable [mm] \lambda [/mm] eingeführt.
Es ist [mm] L(x,y,z,\lambda)= [/mm] f(x,y,z) [mm] +\lambda [/mm] ( [mm]2x^{2}[/mm] + 3 [mm]y^{2}[/mm] + 6 [mm]z^{2}-[/mm] 1)
Nun berechnet man die 4 partiellen Ableitungen von L, also den Gradienten, setzt diese =0 und löst das System.
Die Punkte (x,y,z), die man erhält, sind die kritischen Punkte, also Kandidaten für Extremwerte.
Für die lagrangefunktion gibt s kleine Varianten, Du mußt gucken, wie die bei Euch ist. Rauskommen tut immer dasselbe.
Gruß v. Angela
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Ich werde mir Mühe geben. Ich versteh nicht wieso das mit den Formeln manchmal nicht klappt, ich geb es immer so ein, wie es da steht...
Also wir haben nur folgendes aufgeschrieben:
Sei U [mm] \in[/mm] [mm] \IR\[/mm] hoch n offen und f einmal stetig partiell differenzierbar auf U, [mm] a\in [/mm] M := {x [mm] \in [/mm] U; f(x) = 0} mit grad f(a) [mm] \not= [/mm] 0. Die Funktion h, die einmal stetig partiell differenzierbar ist, besitze in a ein lokales Extremum unter der Nebenbedingung f=0 , d.h es existiert [mm] V\subset [/mm] U Umgebung von a mit
h(x) [mm] \le [/mm] h(a) für alle x [mm] \in V\cap [/mm] M (bzw. h(x) [mm] \ge [/mm] h(a) für alle x [mm] \in [/mm] V [mm] \cap [/mm] M) .
Daraus folgt dass ein [mm] \lambda \in[/mm] [mm] \IR\[/mm] existiert mit grad h(a) = [mm] \lambda [/mm] grad f(a). So haben wir es also aufgeschrieben. Mein Problem ist hier einfach, dass ich dass bei euch mit der Lagrangeformel aufstellen gut verstehe, aber wie ich das hier umsetzen soll, nicht wirklich. Weil von Lagrangeformel ist hier ja nicht die Rede...
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> Ich werde mir Mühe geben. Ich versteh nicht wieso das mit
> den Formeln manchmal nicht klappt, ich geb es immer so ein,
> wie es da steht...
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> Also wir haben nur folgendes aufgeschrieben:
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> Sei U [mm]\in[/mm] [mm]\IR\[/mm] hoch n offen und f einmal stetig partiell
> differenzierbar auf U, [mm]a\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
M := {x [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U; f(x) = 0} mit
> grad f(a) [mm]\not=[/mm] 0. Die Funktion h, die einmal stetig
> partiell differenzierbar ist, besitze in a ein lokales
> Extremum unter der Nebenbedingung f=0 , d.h es existiert
> [mm]V\subset[/mm] U Umgebung von a mit
> h(x) [mm]\le[/mm] h(a) für alle x [mm]\in V\cap[/mm] M (bzw. h(x) [mm]\ge[/mm] h(a)
> für alle x [mm]\in[/mm] V [mm]\cap[/mm] M) .
> Daraus folgt dass ein [mm]\lambda \in[/mm] [mm]\IR\[/mm] existiert mit grad
> h(a) = [mm]\lambda[/mm] grad f(a). So haben wir es also
> aufgeschrieben. Mein Problem ist hier einfach, dass ich
> dass bei euch mit der Lagrangeformel aufstellen gut
> verstehe, aber wie ich das hier umsetzen soll, nicht
> wirklich. Weil von Lagrangeformel ist hier ja nicht die
> Rede...
Hallo,
gut. Passen wir die Vorgehensweise an das an, was Du aufgeschrieben hast.
Deine Nebenbedingung können wir schreiben als f(x)=$ [mm] 2x^{2} [/mm] $ + 3 $ [mm] y^{2} [/mm] $ + 6 $ [mm] z^{2}- [/mm] $ 1=0,
h ist bei Dir h(x):=$ [mm] y^{2} [/mm] $ + 4 $ [mm] z^{2} [/mm] $ - 4yz - 2xz - 2xy.
In Deinem Text steht grob gesagt:
wenn die Funktion h unter der Nebenbedingung f=0 an irgendeiner Stelle (x,y,z) einen Extremwert hat, dann ist zwangslaufig der Gradient von h ein Vielfaches des Gradienten von f,
also: Extremwert bei (x,y,z) ==> es gibt ein [mm] \lambda [/mm] mit grad h(x,y,z)= [mm] \lambda*grad [/mm] f(x,y,z).
Daraus ergibt sich folgende Vorgehensweise: berechne die beiden Gradienten, und lose dann das Gleichungssystem
grad h(x,y,z)= [mm] \lambda*grad [/mm] f(x,y,z)
f(x,y,z)=0
(In deinem Fall: 4 Gleichungen, nämlich
[mm] h_x=\lambda g_x
[/mm]
[mm] h_y=\lambda g_y
[/mm]
[mm] h_z=\lambda g_z
[/mm]
f=0 )
Die Lösungen (x,y,z), die Du erhältst, sind die Stellen, an denen Extremwerte vorliegen können.
Gruß v. Angela
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