Extremwertbestimmung < Rationale Funktionen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:55 Mi 20.02.2008 | | Autor: | philo |
| Aufgabe | $ f(x) = [mm] \bruch {x^3+x-2}{x^2+1} [/mm] $
Bestimme die Extrempunkte von $f(x)$. |
Hi,
ich habe zunächst die 1. Ableitung aufgestellt:
$ f'(x) = 1 + [mm] \bruch {4x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
Diese habe ich nun gleich 0 gesetzt und die Polynomdivision angewendet:
$ 1 + [mm] \bruch {4x}{(x^2+1)^2} [/mm] = 0 $
$ [mm] x^4 [/mm] + [mm] 2x^2 [/mm] + 4x + 1 = 0 $
Durch Probieren erhalte ich die erste Stelle: $ x = -1 $
Und als Ergebnis der Polynomdivision erhalte ich: $ [mm] x^3 [/mm] - [mm] x^2 [/mm] + 3x + 1 $
Nun habe ich versucht, durch weiteres Probieren eine erneute Polynomdivision zu machen bzw. eine weitere Stelle zu finden, da ich weiß, dass es zwei gibt. Allerdings funktioniert das nicht.
Gibt es irgendeine andere Möglichkeit, um auf die zweite Stelle zu kommen?
|
|
| |
|
Hallo,
Deine erste Ableitung stimmt leider nicht. Du musst die Quotientenregel benutzen. Wenn du das gemacht hast, bedenke beim "Gleich-Null-setzen" folgendes: der Nenner eines Bruches darf nicht Null sein. Es reicht daher, wenn du den Zähler der 1. Ableitung betrachtest. Dieser ist ein Polynom mit [mm] x^4 [/mm] +...., und hier kommt erst die Polynomdivision zum Einsatz.
Viele Grüße,
Julia
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Mi 20.02.2008 | | Autor: | philo |
Hm, die Ableitung müsste eigentlich richtig sein, ich kann sie ja nochmal ausführlich hier aufschreiben:
$ f'(x) = [mm] \bruch {(3x^2+1)*(x^2+1) - (x^3 + x -2) * 2x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch {3x^4 + 3x^2 +x^2 +1 - 2x^4 -2x^2 + 4x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch {x^4 + 2x^2 + 4x +1}{(x^2+1)^2} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch {x^4 + 2x^2 + 1}{(x^2+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch {4x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
$ f'(x) = [mm] \bruch {(x^2+1)^2}{(x^2+1)^2} [/mm] + [mm] \bruch {4x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
$ f'(x) = 1 + [mm] \bruch {4x}{(x^2+1)^2} [/mm] $
Oder hat sich hier doch irgendwo ein Fehler eingeschlichen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:50 Mi 20.02.2008 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo philo!
Deine Ableitung ist richtig; siehe auch meine Antwort unten.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Hallo philo!
Du hast bisher alles richtig gerechnet. ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]")
Die weitere Nullstelle der 1. Ableitung ist jedoch eine "krumme Zahl", so dass Du hier hier wohl oder übel auf ein Näherungsverfahren (z.B.  Newton-Verfahren) zurückgreifen musst.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:52 Mi 20.02.2008 | | Autor: | philo |
Schade, dass es nicht anders geht, aber bleibt wohl nichts anderes übrig. Danke für die schnellen Antworten :)
|
|
|
|
