Extremwertberechnung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:55 Mi 16.03.2011 | | Autor: | StevieG |
| Aufgabe | f(x,y) [mm] =2x^{2} [/mm] +xy [mm] +\bruch{5}{4}y^{2}-2x-2y
[/mm]
auf dem Einheitsquadrat S=[0,1]X[0,1] |
grad f [mm] =\vektor{4x+y-2 \\ x+\bruch{5}{2}y-2} =\vektor{0\\ 0}
[/mm]
aus dem GLS folgt : x = [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , y= [mm] \bruch{2}{3}
[/mm]
Das bedeutet das bei Punkt ( [mm] \bruch{1}{3} [/mm] , [mm] \bruch{2}{3}) [/mm] eine mögliche Extremstelle sein kann.
Um dies zu überprüfen muss man die Hesse-Matrix aufstellen:
H = [mm] \pmat{ 4 & 1 \\ 1 & \bruch{5}{2} }
[/mm]
Determinante D = 9 > 0
fxx(x,y)>0 relatives Minimum
1)Da die 2ten Ableitungen in der Hesse Matrix kein x mehr enthalten, ist die Determinante ohne ein x, das heisst ich kann gar nicht die Punkte einsetzen?
[mm] f(\bruch{1}{3},\bruch{2}{3}) [/mm] = -1 Minimum
Jetzt wird in der Musterlösung noch der Rand von S untersucht.
2)Wieso macht man das eigentlich?
3)Es können doch nur die Punkte extremstellen sein für die der Gradient = 0 ist?
4)was ist ein kritischer Punkt?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:06 Mi 16.03.2011 | | Autor: | fred97 |
> f(x,y) [mm]=2x^{2}[/mm] +xy [mm]+\bruch{5}{4}y^{2}-2x-2y[/mm]
>
> auf dem Einheitsquadrat S=[0,1]X[0,1]
> grad f [mm]=\vektor{4x+y-2 \\ x+\bruch{5}{2}y-2} =\vektor{0\\ 0}[/mm]
>
> aus dem GLS folgt : x = [mm]\bruch{1}{3}[/mm] , y= [mm]\bruch{2}{3}[/mm]
>
> Das bedeutet das bei Punkt ( [mm]\bruch{1}{3}[/mm] , [mm]\bruch{2}{3})[/mm]
> eine mögliche Extremstelle sein kann.
>
> Um dies zu überprüfen muss man die Hesse-Matrix
> aufstellen:
>
> H = [mm]\pmat{ 4 & 1 \\ 1 & \bruch{5}{2} }[/mm]
>
> Determinante D = 9 > 0
>
> fxx(x,y)>0 relatives Minimum
>
>
> 1)Da die 2ten Ableitungen in der Hesse Matrix kein x mehr
> enthalten, ist die Determinante ohne ein x, das heisst ich
> kann gar nicht die Punkte einsetzen?
Doch. Du hast es doch gemacht !??
>
> [mm]f(\bruch{1}{3},\bruch{2}{3})[/mm] = -1 Minimum
>
> Jetzt wird in der Musterlösung noch der Rand von S
> untersucht.
> 2)Wieso macht man das eigentlich?
> 3)Es können doch nur die Punkte extremstellen sein für
> die der Gradient = 0 ist?
Zu 2) und 3): vielleicht hilft Dir ein eindim. Beispiel:
Bestimme Minimum und Maximum von [mm] g(x):=x^2 [/mm] auf dem Intervall [-1,1]
Mach Dir an einem Bild klar, dass g sein Maximum auf dem Rand von [-1,1] annimmt. Diese Punkte kriegst Du aber nicht aus g'(x)=0.
>
> 4)was ist ein kritischer Punkt?
Ein Punkt [mm] x_0 [/mm] mit mit [mm] gradf(x_0)=0
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:01 Mi 16.03.2011 | | Autor: | StevieG |
alles klar sehr gut erklärt.
Eine weitere Frage:
würde ich statt dem Einheitsquadrat ein Einheitskreis haben, könnte ich die Aufgabe nur mit Lagrange lösen oder über die expliozite methode durch einsetzen der NB in die Funktion?
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Hallo StevieG,
> alles klar sehr gut erklärt.
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> Eine weitere Frage:
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> würde ich statt dem Einheitsquadrat ein Einheitskreis
> haben, könnte ich die Aufgabe nur mit Lagrange lösen oder
> über die expliozite methode durch einsetzen der NB in die
> Funktion?
>
Für die Extrema auf dem Einheitskreis ist
die Methode nach Lagrange zu verwenden.
Für die Extrema im inneren des Einheitskreises
ist die gewohnte Ermittlung der kritischen Punkte zu verwenden.
Gruss
MathePower
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> > würde ich statt dem Einheitsquadrat ein Einheitskreis
> > haben, könnte ich die Aufgabe nur mit Lagrange lösen oder
> > über die explizite methode durch einsetzen der NB in die
> > Funktion?
> >
>
>
> Für die Extrema auf dem Einheitskreis ist
> die Methode nach Lagrange zu verwenden.
"ist zu verwenden" klingt wie "muss verwendet werden",
aber
die "explizite Methode" wäre natürlich auch möglich:
[mm] x:=cos(\varphi) [/mm] und [mm] y:=sin(\varphi) [/mm] setzen und dann die
sich ergebende Funktion des Polarwinkels [mm] \varphi [/mm] untersuchen.
Auch beim quadratischen Rand geht dies (mit recht-
winkligen Koordinaten). Nur muss man dann die vier
Quadratseiten separat betrachten und dann zwei
Funktionen in x und 2 Funktionen in y mit 1D-Analysis
untersuchen.
LG Al-Chw.
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