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| Aufgabe | | Einem gleichschenkeligen Dreieck (c=8cm, hc= 6 cm) wird ein Rechteck von größtem Flächeninhalt so eingeschrieben, dass die Grundlinei des gleichschenkeligen Dreiecks eine Rechteckseite enthält. Wie groß ist dieser Inhalt? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Bräuchte einfach hilfe verstehe diese Extremwertaufgaben überhaupt nicht.......warum ziel- und nebenfunktion? usw...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:40 Mo 30.10.2006 | | Autor: | jaco |
Salut Marie-Therese
> Bräuchte einfach hilfe verstehe diese Extremwertaufgaben
> überhaupt nicht.......warum ziel- und nebenfunktion? usw...
Am Besten zeichnest Du Dir das Dreick auf und in das Dreieck verschiedene Vierecke, so, dass die Seite a auf c (Grundseite des Dreiecks) zu liegen kommt.
Die Zielfunktion, also das, was extrem werden soll, ist die Volumenformel:
V= a * b (soll maximal werden). a ist die Breite, b ist die Höhe des Rechtecks. a liegt auf c
Ohne Nebenbedingung wäre das Volumen maximal, wenn a und b unendlich wären. Nun ist aber a eingeschränkt auf die Seitenlänge c, d.h. max 8cm. Damit könnte b immer noch unendlich werden. Aber auch b ist beschränkt auf die Seite des Dreiecks, da ja das Rechteck komplett innerhalb des Dreiecks liegen soll. In der Skizze wird dann schnell klar, dass die Höhe des Rechtecks abhängt von der Breite. Extrem heisst das: wenn a gegen 8cm geht, läuft b gegen 0 und umgekehrt. Die Nebenfunktion ist aus der Abhängigkeit von a und b zu finden. Und die ergibt sich aus der Trigonometrie: b = [mm] tan(\alpha) [/mm] * (c-a).
Mit c = 8cm und [mm] tan(\alpha) [/mm] = 3/4 ergibt sich die zu optimierende Funktion zu: [mm] V=-0.75*a^2 [/mm] + 6 a
Für diese Funktion suchen wir jetzt ein Maximum innerhalb unseres Gültigkeitsbereichs für a (0;8)cm
Dazu setzen wir die erste Ableitung =0 und überprüfen das Vorzeichen der zweiten Ableitung. Für a=4 wird die erste Ableitung zu Null; die zweite Ableitung ist negativ! Wenn Du Dir die Zielfunktion aufzeichnest, erkennst Du eine Parabel mit dem Scheitelpunkt bei a=4 (Maximum); daraus ergibt sich für b 3cm und das Volumen ist 12cm x cm.
Voila, ich hoffe, ich konnte Dir weiterhelfen.
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| Aufgabe | | also mal ein großes dankeschön, für deinen vorgeschlagenen lösungsweg.....ich dachte mir man machts mit dem strahlensatz, deshalb versteh ich deine antwort nicht ganz. meine professorin hats mir auch versucht mit dem strahlensatz als nebenfunktion zu erklären... was meinst du dazu? |
hi jacob,wär nett wennst mir nochmal helfen würdest
...aja noch was...dein ergebnis stimmt aufjedenfall laut meines lösungsbuches....aber ich versteh nicht ganz wie du darauf gekommen bist....kannst du es viell. noch weiter erläutern - wäre mir echt eine große hilfe...
und schon mal ein großes dankeschön im voraus
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Hi, Marie-Therese,
> also mal ein großes dankeschön, für deinen vorgeschlagenen
> lösungsweg.....ich dachte mir man machts mit dem
> strahlensatz, deshalb versteh ich deine antwort nicht ganz.
> meine professorin hats mir auch versucht mit dem
> strahlensatz als nebenfunktion zu erklären...
Schau doch mal hier:
https://matheraum.de/read?t=174962
Bei dieser sehr ähnlichen Aufgabe werden auch 2 Lösungswege besprochen - u.a. mit dem Strahlensatz.
mfG!
Zwerglein
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also wenn ich in meinem fall den srahlensatz mit dem verhältnis AB : Bc = Ab : Ac aufstelle stimmt das dann so???
aber was setzt ich dann ein...bei einem gleichschenkeligen Dreieck wäre das dann ja c:b=c:b das kann ja nicht sein oder???
ich checks einfach nicht.......
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Hi, Marie-Therese,
also: Der Punkt C ist "Streckungszentrum" für den Strahlensatz.
Die Grundlinie des Dreiecks ist c=8, die zugehörige Höhe (sozusagen der Abstand der Grundlinie zum Streckungszentrum) ist h=6.
Wenn Du Dir eines der beschriebenen Rechtecke mal einzeichnest, dann nenne seine Breite (die auf c liegt), mal z.B. mit dem Buchstaben b, die "Höhe" nenne a.
Dann gilt nach dem Strahlensatz:
b:c = (h-a):h
oder mit den gegebenen Zahlen und in Bruchdarstellung:
[mm] \bruch{b}{8} [/mm] = [mm] \bruch{6-a}{6}
[/mm]
Das ist Deine Nebenbedingung, die Du am besten nach b auflöst und in die Hauptbedingung, nämlich:
F = a*b
einsetzt.
Der Rest ist "Kurvendiskussion": Ableiten, Ableitung =0 setzen, zeigen, dass ein Max. rauskommt.
mfG!
Zwerglein
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merci vielmals....echt danke......da hab ich ja wirklich ein super forum mit sehr hilfreichen und netten menschen gefunden...nicht schlecht, nicht schlecht.....
Danke, echt so nett dast so schnell geantwortet hast
ciao baba marie-therese (sicher bis bald einmal....bin nicht grad ein mathe genie)
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noch eine frage...tut ma leid wenn ich dich nerv......ich versteh nicht dieses (h-a), wieso woher kommt das???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:59 Mo 30.10.2006 | | Autor: | jaco |
Saluti
> versteh nicht dieses (h-a), wieso woher kommt das???
h-a ist die Strecke zwischen C und dem ersten Eckpunkt des Rechtecks.
Das Verhältnis lautet a/c = h-a/h
Von C aus betrachtet muss ich dann die Strecke bis zum Eckpunkt des Rechtecks wissen. Die ist aber genau die Differenz zwischen der Höhe h und der Seitelänge a. Bingo!
good luck!
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ahhhh okay, war mir wichtig zu verstehn was ich mach, weil nur abschreiben hat keinen sinn....
danke danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:07 Mo 30.10.2006 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Marie-Theres,
da hat jaco die Sache ein bissl ungenau beschrieben:
(h-a) bzw. (6-a) ist nämlich der Abstand der waagrechten oberen Rechtecksseite zum Punkt C.
Im Vierstreckensatz gilt ja:
Die parallelen Strecken (hier b und c) verhalten sich genauso
wie ihr ABSTAND zum Streckungszentrum (hier: C).
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:17 Mo 30.10.2006 | | Autor: | jaco |
Danke für Deine Exaktheit! Ich glaube aber, dass es klar wird, wenn man sich das aufzeichnet. Meine Bezeichnungen sind anders, meinte aber dasselbe!
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