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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:00 Do 16.01.2014 | | Autor: | CrapWrap |
| Aufgabe | Der relative Benzinverbrauch V eines Motorrads ist folgendermaßen abhängig vom Luftdruck in den beiden Reifen p1 und p2 (jeweils in bar) und von den positiven Konstanten a und b.
V(p1,p2) = a + [mm] \bruch{b}{p1*p2^2}
[/mm]
a) Welche Reifendrücke sind mögliche Kandidaten für einen extremen Verbrauch, wenn die Summe der Drücke auf 5 bar limitiert ist?
b) Was passiert an den Rändern des sinvollen Definitionsbreichs mit dem Verbrauch?
c) Welche Drücke (p1,p2) führen also zum minimalen Verbrauch und wie hoch ist dieser? |
Hallo,
da ich mir leider etwas unsicher bzgl. der Fragestellung bin, möchte ich meine meine Ergebnisse vorstellen.
Zu a): Aus der Aufgabenstellung lässt sich die Nebenbedingung p1 = 5-p2 schließen. Die daraus entwickelte Zielfunktion besitzt laut meiner Rechnung bei p2 = 0 bar und bei p2 = 10/3 bar Extrema. Damit ist die Aufgabe erfüllt, oder?
Zu b): Den "sinnvollen" Definitionsbereich habe ich anhand der Information, dass die Summe auf 5 bar limitiert ist, als Intervall [0;5] definiert. An den Rändern, also bei 0 und 5 ist jeweils ein Reifen platt. Der Verbrauch würde bei Ännäherung an die Randpunkte ins unermessliche, die Funktionswerte also gegen + [mm] \infty [/mm] gehen.
Zu c) Die zweite Ableitung nimmt für 10/3 bar einen positiven Wert an. Bei 10/3 bar liegt somit ein Minimum vor. Für p1 ergibt sich damit ein Wert von 5/3 bar. Diese Wert sind damit die Reifendrücke für den gesuchten minimalen Verbrauch.
Was mich allerdings stutzig macht, ist die Frage nach dem Verbrauch selbst.
Kann ich, ohne Angabe der Konstanten, einen konkreten Wert für V (p1=5/3; p2=10/3) ermitteln?
Grüße,
Wrap
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> Der relative Benzinverbrauch V eines Motorrads ist
> folgendermaßen abhängig vom Luftdruck in den beiden
> Reifen p1 und p2 (jeweils in bar) und von den positiven
> Konstanten a und b.
>
> V(p1,p2) = a + [mm]\bruch{b}{p1*p2^2}[/mm]
>
> a) Welche Reifendrücke sind mögliche Kandidaten für
> einen extremen Verbrauch, wenn die Summe der Drücke auf 5
> bar limitiert ist?
>
> b) Was passiert an den Rändern des sinvollen
> Definitionsbreichs mit dem Verbrauch?
>
> c) Welche Drücke (p1,p2) führen also zum minimalen
> Verbrauch und wie hoch ist dieser?
>
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> Hallo,
>
> da ich mir leider etwas unsicher bzgl. der Fragestellung
> bin, möchte ich meine meine Ergebnisse vorstellen.
>
> Zu a): Aus der Aufgabenstellung lässt sich die
> Nebenbedingung p1 = 5-p2 schließen. Die daraus
> entwickelte Zielfunktion besitzt laut meiner Rechnung bei
> p2 = 0 bar und bei p2 = 10/3 bar Extrema. Damit ist die
> Aufgabe erfüllt, oder?
Hallo,
wenn Deine Zielfunktion so lautet, wie ich es mir vorstelle, dann kann sie für [mm] p_2=0 [/mm] keinen Extremwert haben, denn an dieser Stelle ist sie gar nicht definiert.
Eine waagerechte Tangente bei [mm] p_2=10/3 [/mm] stimmt.
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> Zu b): Den "sinnvollen" Definitionsbereich habe ich anhand
> der Information, dass die Summe auf 5 bar limitiert ist,
> als Intervall [0;5] definiert.
Die Werte 0 und 5 kannst Du in Deine Funktion nicht einsetzen.
Der sinnvolle Definitionsbereich, welcher sowohl die Besonderheiten der Funktion als auch den Sachzusammenhang berücksichtigt, ist also das Intervall ]0,5[.
> An den Rändern, also bei 0
> und 5 ist jeweils ein Reifen platt. Der Verbrauch würde
> bei Ännäherung an die Randpunkte ins unermessliche, die
> Funktionswerte also gegen + [mm]\infty[/mm] gehen.
Ja.
>
> Zu c) Die zweite Ableitung nimmt für 10/3 bar einen
> positiven Wert an. Bei 10/3 bar liegt somit ein Minimum
> vor. Für p1 ergibt sich damit ein Wert von 5/3 bar. Diese
> Wert sind damit die Reifendrücke für den gesuchten
> minimalen Verbrauch.
Ja.
> Was mich allerdings stutzig macht, ist die Frage nach dem
> Verbrauch selbst.
> Kann ich, ohne Angabe der Konstanten, einen konkreten Wert
> für V (p1=5/3; p2=10/3) ermitteln?
Der Wert wird natürlich von a und b abhängen.
[mm] V(5/3,10/3)=a+\bruch{b}{5/3*100/9}
[/mm]
LG Angela
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