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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:23 Sa 06.01.2007 | | Autor: | pisty |
| Aufgabe | Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der Funktion.
[mm] f(x,y)=3x^2y+4y^3-12y+8 [/mm] |
Hallo,
ich habe Probleme mit dem Anfang von Lösen einer Extremwertaufgabe.
Ich komme einfach nicht auf die Zielfunktion durch Gleichsetzungsverfahren oder andere Verfahren.
Hier mal eine Beispielaufgabe:
Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der Funktion.
[mm] f(x,y)=3x^2y+4y^3-12y+8
[/mm]
meine ersten Schritte sind ja die ableitungen bilden. Siehe hier:
fx=6xy
[mm] fy=3x^2+12y^2-12
[/mm]
fxx=6y
fyy=24y
fxy=6x
fyx=6x
aus beiden unten stehenden Funktionen möchte muss ich nun die Zielfunktion ermitteln, woraus ich die
Extremwerte P(x,y) bestimme.
0=6xy
[mm] 0=3x^2+12y^2-12
[/mm]
jetzt komme ich leider nicht weiter, ich will jetzt sozusagen einen x oder y-Wert bestimmen.
Kann mir jemand helfen.
Vielen Dank
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> Bestimmen Sie Art und Lage der relativen Extremwerte der
> Funktion.
>
> [mm]f(x,y)=3x^2y+4y^3-12y+8[/mm]
> Hallo,
>
> fx=6xy
> [mm]fy=3x^2+12y^2-12[/mm]
> fxx=6y
> fyy=24y
> fxy=6x
> fyx=6x
>
>
> aus beiden unten stehenden Funktionen möchte muss ich nun
> die Zielfunktion ermitteln, woraus ich die
>
> Extremwerte P(x,y) bestimme.
>
> I. 0=6xy
> II. [mm]0=3x^2+12y^2-12[/mm]
Kandidaten für lokale Extrema sind die Punkte (x,y), für welche diese beiden Gleichungen gelten, der Gradient also =0 ist.
Schauen wir auf I.: 0=6xy.
Wann nur kann das gelten?
es muß x=0 sein oder y=0.
Mit diesen Informationen können wir in die zweite Gleichung gehen:
A. Es sei x=0 und es gelte II.
Also (wegen x=0) [mm] 0=12y^2-12
[/mm]
<==> [mm] 0=y^2-1=(y-1)(y+1)
[/mm]
==> y=1 oder y=-1.
Somit hätten wir erste Extremwertkandidaten:(0,1) und (0,-1)
B. Dieselbe Überlegung ist nun für y=0 durchzuführen. Ich denke, das schaffst Du allein.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:22 Sa 06.01.2007 | | Autor: | pisty |
Hallo,
habe jetzt mal ein Lösungsversuch gestartet, und hoffe dass ich richtig liege.
Wie oben schon gesagt die ersten beiden Extrema P1 (0;1) und P2(0;-1)
für y=0 erhakte ich P3(-2;0) und P4(2;0)
Nun habe ich überprüft welche nun wirklich die Extrema sind:
- P1(0;-1) ist Max Extr.
- P2(0;1) ist Min Extr.
lige ich richtig?
Vielen Dank
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> für y=0 erhakte ich P3(-2;0) und P4(2;0)
Hallo,
ja, das ist richtig.
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> Nun habe ich überprüft welche nun wirklich die Extrema
> sind:
> - P1(0;-1) ist Max Extr.
> - P2(0;1) ist Min Extr.
>
> lige ich richtig?
Das stimmt soweit.
Erwähnenswert ist, daß man ohne weiter Untersuchungen über die anderen beiden Punkte nichts sagen kann.
Gruß v. Angela
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