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Extremwertaufgabe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Fr 25.01.2013
Autor: bobiiii

Aufgabe
Welche Punkte der Fläche $F:xy+yz=1$ haben den kleinsten Abstand vom Ursprung?
Hinweis: Bestimmen Sie jene Punkte $(x, y, [mm] z)\in\sub [/mm] F$, für die [mm] x^2+y^2+z^2 [/mm] minimal wird.

Hallo allerseits,

kann bitte jemand schauen, ob dieser Rechengang bis jetzt richtig ist?

Hb: [mm] x^2+y^2+z^2 \to [/mm] minimal

Nb: $xy+yz=1$

[mm] \to z=\frac{1}{y}-x [/mm]

[mm] f(x,y)=x^2+y^2+(\frac{1}{y}-x)^2 [/mm]

[mm] \frac{\partial f}{\partial x}= 4x-\frac{2}{y} [/mm]

[mm] \frac{\partial f}{\partial y}= 2y+\frac{2x}{y^2}-\frac{2}{y^3} [/mm]

I:  [mm] 4x-\frac{2}{y}=0 \to x=\frac{1}{2y} [/mm]

II: [mm] 2y+\frac{2x}{y^2}-\frac{2}{y^3}=0 [/mm]

[mm] \to 2y+\frac{\frac{1}{y}}{y^2}-\frac{2}{y^3}=0 [/mm]

Wenn ich dann y ausrechnen will kommt mir [mm] y^4=\frac{1}{2} [/mm] raus, wass ja dann [mm] y=(\frac{1}{2})^{1/4} [/mm] wäre...
Kann das so stimmen, oder stimmt überhaupt der Rechengang?

Gruß,
bobiiii



        
Bezug
Extremwertaufgabe: Anmerkung
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Fr 25.01.2013
Autor: Loddar

Hallo bobiii!


Diese Werte habe ich auch erhalten. [ok]

Lediglich bedenken musst Du, dass es zwei Lösungen gibt mit [mm]y \ = \ \red{\pm} \ \bruch{1}{\wurzel[4]{2}}[/mm] .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Extremwertaufgabe: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Fr 25.01.2013
Autor: bobiiii

Hallo Loddar,

Vielen Dank für die Kontrolle, hab mich nur gewundert, dass solche unschöne Zahlen rauskommen :-)

Gruß,
bobiiii

Bezug
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