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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:16 Fr 09.09.2005 | | Autor: | mCo |
Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender Aufgabe:
Sei
K := [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} : 2x^{2} + 2xy + 2y^{2} - 9 = 0\}
[/mm]
und
R := [mm] \{(x,y) \in \IR^{2} : |x| \le \wurzel{6}, 2|y| \le \wurzel{6} + 3\wurzel{2}\}
[/mm]
Z.z. ist nun, K [mm] \subset [/mm] R.
Reicht es zu zeigen, dass R kompakt ist und K stetig auf R? Dann würde K doch auf R absolutes Max. u. Min. annehmen, so dass alle Werte von K in R liegen müssen, oder?
Eine andere Idee von mir war, zuerst x = [mm] \wurzel{6} [/mm] in K einzusetzen und dann nach y umzuformen. Erfüllt der errechnete Wert dann die Ungleichung: 2|y| [mm] \le \wurzel{6} [/mm] + [mm] 3\wurzel{2}, [/mm] so führe ich die gleichen Schritte nochmal für die "y-Bedingung" aus und forme nach x um. Das ist natürlich viel aufwändiger, als der erste Ansatz.
Die dritte Idee ist, die Extremstellen von K unter den 2, durch R gegebenen Nebenbedingungen zu berechnen. Das wäre dann am aufwändigsten.
Welche dieser Ansätze/Ideen sind richtig, welche kann ich nicht nehmen und warum?
Vielen Dank im Voraus für Antworten oder Tips.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
meine Idee wäre, die Relation, die die Punkte in K festlegt, umzuformen. Und zwar einmal nach x, einmal nach y:
[mm]2x^2+2xy-2y^2-9=0[/mm]
[mm] \Rightarrow x_{1/2}=\bruch{-2y \pm \wurzel{4y^2-4*2*(-2y^2-9)}}{4}=\bruch{-y \pm \wurzel{5y^2+18}}{2}[/mm] und genauso
[mm] \Rightarrow y_{1/2}=...=\bruch{x \pm \wurzel{5x^2-18}}{2}[/mm]
Hier muss [mm]|x| \geq 3*\wurzel{\bruch{2}{5}}[/mm] sein, da sonst Diskriminante negativ ist.
Das kann man jeweils in zwei Funktionen aufspalten, einmal mit plus, einmal mit minus die Wurzel. Anschließend Minima und Maxima der Funktionen bestimmen, und damit dann schließen, dass die Forderungen von R erfüllt sind.
Achja: Die Bedingungen in R sind mit "oder" verknüpft, richtig?
Sonst wäre die Aussage nämlich falsch, denn [mm]3 > \wurzel{6} [/mm],
aber [mm](3 ; \bruch{3+3\wurzel{3}}{2}) \in K[/mm]
Edit: Moment, da stimmt was nicht. Entweder in deiner Angabe, oder bei mir, denn [mm]2*(\bruch{3+3\wurzel{3}}{2}) > \wurzel{6}+3\wurzel{2}[/mm], passt also auch nicht!!!
mfg
Daniel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:01 Sa 10.09.2005 | | Autor: | mCo |
Hi
und vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe tatsächlich einen Vorzeichenfehler in meiner Aufgabenstellung gehabt. Sorry. (Korrektur im ursprünglichen Post)
Deinen Ansatz hatte ich auch schon probiert, bin aber genau wie Du, durch den Fehler auf kein Ergebnis gekommen. Nun stimmt es aber.
Trotzdem aber jetzt nochmal die Frage: Kann man das gleiche nicht auch über die Kompaktheit von R einfacher erreichen?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:12 Sa 10.09.2005 | | Autor: | mCo |
Hallo,
ich habe die Antworten auf meine Fragen gefunden. Wen es interessiert:
Die Begründung über die Kompaktheit von R reicht nicht aus, da man daraus ja nur folgern kann, daß K seine abs. Extrema auf R annimmt, es ist aber keine Aussage über die max./min. Werte der x- und y-Koordinaten möglich.
Die Methode, die durch R gegebenen Bedingungen (max./min. Wert für x bzw. y) nacheinander in K einzusetzen liefert ja nur den entsprechenden Wert an den Rändern von R. Das heißt aber noch nicht, das es keinen Funktionswert von K gibt der außerhalb von R liegt!
Meine letzte Idee (Extrema von K unter den durch R gegebenen Nebenbedingungen) liefert eben nur die möglichen Extrema von K auf R. Um z.z., dass K [mm] \subset [/mm] R, benötigt man allerdings genau die abs. Extrema der Funktionen der jeweiligen Koordinate. Das sind eben genau die Fkt. die Daniel mir vorgeschlagen hat. Genügen diese Extrema den Bedingungen aus R, dann ist K [mm] \subset [/mm] R.
Also vielen Dank nochmal Daniel!
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Hallo nochmal,
dann ist ja jetzt alles geklärt 
Letztendlich ist es eine Relation, die die Menge beschreibt, und man kann durch Umformen in vier (vielleicht reicht es sogar, nur eine Koordinate zu betrachten, weil man schaut wann die Diskriminante nicht-negativ ist, dann würden zwei reichen) Funktionen die "Ränder" dieser Punktmenge herauskriegen.
mfg
Daniel
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-selber beantwortet
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