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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:08 Di 08.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
| Aufgabe | Eine zylinderförmige Konservendose soll ein Fassungsvermögen von einem Liter und dabei die geringstmögliche Oberfläche haben.
Wie sind Grundkreisradius und Höhe der Dose zu wählen? |
Heyho, könnt ihr mir kurz sagen, ob ich richtig gerechnet habe? Bitte sagt mir, ich habe richtig gerechnet^^
Ih habe zuerst eine Hauptbedingung und eine Nebenbedinung aufgestellt.
HB: O= 2 [mm] \pi [/mm] r (r+h)
NB: V= [mm] \pi r^{2}h
[/mm]
NB nach h umgestellt, in HB eingesetzt ergibt Zielfunktion.
Zf: [mm] 2\pi r^{2}+\bruch{2}{r}
[/mm]
Zf': [mm] 4\pi [/mm] r +2
1. Ableitung 0 gesetzt und nach r aufgelöst ergibt
r= -0,16dm (dm, da ich das Volumen auch mit [mm] 1dm^{3} [/mm] genommen habe)
r in Formel fürs Volumen einsetzen ergibt h= 12,434 dm
Korrekt? Also laut Formel fürs Volumen bekomm ich wieder 1 Liter raus, aber fehlt eventuell noch etwas? z.B Überprüfung der 2. Ableitung oder ist das so ok? Mir kommts vorallem auf die Form drauf an, da ich bald mündliche prüfung habe =)
Dankeschön =)
Liebe Grüße
Nicom88
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> Ih habe zuerst eine Hauptbedingung und eine Nebenbedinung
> aufgestellt.
>
> HB: O= 2 [mm]\pi[/mm] r (r+h)
> NB: V= [mm]\pi r^{2}h[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> NB nach h umgestellt, in HB eingesetzt ergibt
> Zielfunktion.
Wo hast du das gemacht? Seh ich hier nicht!
Der Prüfer einer mdl Prüfung dann auch nicht.
Sowas zukünftig mit angeben.
Nu muss ichs selbst machen *seufz*
$V = [mm] \pi [/mm] r^2h [mm] \gdw [/mm] h = [mm] \bruch{V}{\pi r^2}$
[/mm]
Einsetzen in O:
$O(r) = [mm] 2\pi [/mm] r(r+h) = [mm] 2\pi r(r+\bruch{V}{\pi r^2}) [/mm] = [mm] 2\pi r^2 [/mm] + [mm] \bruch{2V}{r}$
[/mm]
> Zf: [mm]2\pi r^{2}+\bruch{2}{r}[/mm]
> Zf': [mm]4\pi[/mm] r +2
Ergo: Deine ZF stimmt, die Ableitung ist allerdings falsch. Schau die dir mal nochmal an.
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Di 08.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Ups, Quotientenregel ^^
Zf'= [mm] 4\pi [/mm] r- [mm] \bruch{2}{r^{2}}
[/mm]
Zf'=0
[mm] r^{3}= \bruch{2}{4\pi} [/mm] | 3. Wurzel
r=0,54
r in Formel von Volumen
V= [mm] \pie r^{2}*h
[/mm]
h= 1,083
Oberfläche ergibt dann 5,506
Um zu gucken, ob Oberfläche minimal ist, kann man ja r und h variieren, oder?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Di 08.06.2010 | | Autor: | fred97 |
> Hey, tut mir leid!
> Werd ich immer angeben.
>
> Zur Ableitung
>
> Zf(r)= [mm]2\pi r^{2}+\bruch{2}{r}[/mm]
>
> ist doch abgeleitet [mm]4\pi[/mm] r+2 ? r abgeleitet ergibt doch
> 1, [mm]\bruch{2}{1}=[/mm] 2
>
> Also im mom seh ich da keinen Fehler :(
Ich schon: sei [mm] $\phi(r)=1/r= r^{-1}$
[/mm]
Es ist [mm] $\phi'(r) [/mm] = [mm] -1/r^2$ [/mm] . Ist Dir das klar ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:51 Di 08.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Ist mir im Moment des schreibens auch klar geworden^^
Wollte eigtl noch den Beitrag von mir ändern, hast leider auf den alten falschen geantwortet.. sry :(
Naja besser jetzt schusselig als morgen^^
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> Ups, Quotientenregel ^^
>
> Zf'= [mm]4\pi[/mm] r- [mm]\bruch{2}{r^{2}}[/mm]
> Zf'=0
> [mm]r^{3}= \bruch{2}{4\pi}[/mm] | 3. Wurzel
> r=0,54
Wir runden nicht!
Wir halten fest: $r = [mm] \sqrt[3]{\bruch{1}{2\pi}}$ [/mm] ist einzige kritische Stelle.
Nur wer sagt uns, dass das jetzt auch ein Minimum ist?
> r in Formel von Volumen
>
> V= [mm]\pie r^{2}*h[/mm]
> h= 1,083
Wieder: Wir runden (erstmal) nicht!
> Oberfläche ergibt dann 5,506
Hier rechnet man erst den Wert aus und dann kann man den mal runden.
> Um zu gucken, ob Oberfläche minimal ist, kann man ja r und
> h variieren, oder?
Nö, das hättest du früher machen müssen.
Wie weisst du, ob deine kritische Stelle ein Minimum ist?
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:07 Di 08.06.2010 | | Autor: | nicom88 |
Nagut, dann ordentlich^^
Also ich nehme r = [mm] \sqrt[3]{\bruch{1}{2\pi}}, [/mm] und Überprüfe diesen Wert mit der 2. Ableitung
Zf''= [mm] 4\pi+ \bruch{4}{r^{3}}
[/mm]
für r wird [mm] \sqrt[3]{\bruch{1}{2\pi}} [/mm] eingesetzt.
[mm] ZF''(\sqrt[3]{\bruch{1}{2\pi}})= [/mm] 37,96 >0, d.h. es liegt ein relatives Minimum vor. Wir wollten den Minimalwert haben, und laut der 2. Ableitung besitzen wir ihn.
Nun kann ich mir sicher sein, dass meine Werte stimmen.
Vielen Dank =)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:21 Di 08.06.2010 | | Autor: | reverend |
Hallo Nico,
reverend
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