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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Di 22.02.2005 | | Autor: | andy009 |
Hallo!
Habe folgende Extremwertaufgabe zu lösen:
Eine Holzplatte soll um eine Ecke eines rechtwinkeligen Hausflurs gebracht werden. Der Gang in eine Richtung hat eine Breite von 2m, der Gang normal darauf 2,5m.
Wie lang darf die Glasplatte höchstens sein, damit sie um die Ecke transportiert werden kann?
Mein Ansatz ist mit dem Phytagoras, da komme ich jedoch nicht weiter:
[mm] l^{2}=(2+x)^{2}+(2,5+y)^{2}
[/mm]
Bitte um Hilfe! Danke!
mfg andy
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Andy,
ist's nun 'ne Holz- oder 'ne Glasplatte?
Egal: Die Rechnung ändert sich dadurch ja nicht.
Mein Vorschlag: Betrachte die Situation in einem Koordinatensystem mit der "äußeren" Ecke des Flurs als Ursprung (O).
Dann hat die "innere Ecke" - ich nenn' sie mal P (also die, um die die Platte herumgezogen werden soll) die Koordinaten P(2; 2,5).
Wenn Du nun die Platte um die Ecke rumziehst, dann geht das so grade noch, wenn beide Enden genau an den rechtwinklig anstehenden Außenwänden liegen, während sie irgendwo dazwischen die Ecke P berührt, diese "enthält".
Nun zur Mathematik: Durch die Ecke P(2; 2,5) gehen die Geraden mit der Gleichung
y=m(x-2)+2,5 oder: y=mx+2,5-2m. ("Geradenbüschel" durch P.)
Diese schneidet die x-Achse (also die eine Seitenwand!) bei [mm] x=\bruch{2m-2,5}{m}, [/mm] die y-Achse (also die andere Wand) bei y=2,5-2m.
Die Punkte, in denen die Platte beim Rumziehen um die Ecke die beiden Außenwände berührt, haben in unserem KS also die Koordinaten:
A( [mm] \bruch{2m-2,5}{m} [/mm] ; 0) und B( 0 ; 2,5-2m).
Und worum geht's nun?
Antwort: Darum, dass die Strecke zwischen A und B ihr Minimum annimmt, denn länger als dieses Minimum darf die Platte natürlich nicht sein.
Also: Gesucht ist das Minimum von [mm] \overline{AB}.
[/mm]
[mm] \overline{AB} [/mm] wiederum ist die Hypothenuse eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten [mm] x_{A} [/mm] und [mm] y_{B}. [/mm]
Nun erkennt man aber, dass hierbei ein - nicht allzu trivialer - Wurzelterm herauskommt.
Daher eine Zwischenüberlegung: Wenn eine Strecke minimal ist im Vergleich zu anderen Strecken, so gilt dies auch für ihr Quadrat.
Folgerung: Wir können statt eines Minimums für [mm] \overline{AB} [/mm] auch das Minimum für [mm] \overline{AB}^{2} [/mm] bestimmen.
Letzteres ist eine gebrochen-rationale Funktion in der Variablen m.
So: Aber nun hab' ich erst mal genug geholfen. Versuch's also selbst!
mfG!
Zwerglein
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