Extremwertaufgabe < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Hi.Habe Probleme bei einer Extremwertaufgabe. |
Ein Dreieck mit den Seitenlängen a,b,c hat laut der Hernonschen Flächneformel den Flächeninhalt [mm] F=\wurzel(s(s-a)(s-b)(s-c)), [/mm] wobei der halbe Umfang mit s bezeichnet ist,d.h 2s=a+b+c.Für welche seitenlängen ist der Flächeninhalt bei gegebenen Umfang extremal ?
Wählen sie das Maximum aus und bergründen sie ihre Entscheidung.
Ansatz:
2s=a+b+c <=> [mm] s=\bruch{a+b+c}{2} [/mm] in F einsetzen.
[mm] F=\wurzel(\bruch{a+b+c}{2}(\bruch{a+b+c}{2}-a)(\bruch{a+b+c}{2}-b)(\bruch{a+b+c}{2}-c)).
[/mm]
[mm] F_a=\bruch{a(-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}
[/mm]
[mm] F_b=\bruch{b({a}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}
[/mm]
[mm] F_c=\bruch{c({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}
[/mm]
grad [mm] F=(F_a,F_b,F_c)=0
[/mm]
[mm] <=>a(-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})=b({a}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2})=c({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2})=0
[/mm]
Komm dann aber nicht weiter bzw. ich glaube, dass etwas nicht richtig ist.Möglicherweise der Ansatz.
Danke für Hilfe
matheja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:01 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
> Hi.Habe Probleme bei einer Extremwertaufgabe.
> Ein Dreieck mit den Seitenlängen a,b,c hat laut der
> Hernonschen Flächneformel den Flächeninhalt
> [mm]F=\wurzel(s(s-a)(s-b)(s-c)),[/mm] wobei der halbe Umfang mit s
> bezeichnet ist,d.h 2s=a+b+c.Für welche seitenlängen ist der
> Flächeninhalt bei gegebenen Umfang extremal ?
> Wählen sie das Maximum aus und bergründen sie ihre
> Entscheidung.
>
> Ansatz:
> 2s=a+b+c <=> [mm]s=\bruch{a+b+c}{2}[/mm] in F einsetzen.
>
> [mm]F=\wurzel(\bruch{a+b+c}{2}(\bruch{a+b+c}{2}-a)(\bruch{a+b+c}{2}-b)(\bruch{a+b+c}{2}-c)).[/mm]
>
> [mm]F_a=\bruch{a(-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}[/mm]
>
> [mm]F_b=\bruch{b({a}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}[/mm]
>
> [mm]F_c=\bruch{c({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2})}{2*\wurzel({-a}^{4}+2({b}^{2}-{c}^{2}){a}^{2}-{({b}^{2}-{c}^{2})}^{2})}[/mm]
>
> grad [mm]F=(F_a,F_b,F_c)=0[/mm]
>
> [mm]<=>a(-{a}^{2}+{b}^{2}+{c}^{2})=b({a}^{2}-{b}^{2}+{c}^{2})=c({a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2})=0[/mm]
>
> Komm dann aber nicht weiter bzw. ich glaube, dass etwas
> nicht richtig ist.Möglicherweise der Ansatz.
>
> Danke für Hilfe
>
> matheja
Hallo,
angenommen, es gibt drei Seitenlängen mit [mm] a\le [/mm] b [mm] \le [/mm] c und maximalem Flächeninhalt des Dreiecks. Durch zyklisches Vertauschen der Beschriftungen hätte auch ein Dreieck mit den gleichen Seitenlängen und [mm] b\le [/mm] c [mm] \le [/mm] a den gleichen maximalen Flächeninhalt. Daraus folgt [mm] a\le [/mm] b [mm] \le [/mm] c [mm] \le [/mm] a, was auf a=b=c führt.
Viele Grüße
Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 25.04.2008 | | Autor: | matheja |
| Aufgabe | | Danke abaskus für den Hinweis. |
> Hallo,
> angenommen, es gibt drei Seitenlängen mit [mm]a\le[/mm] b [mm]\le[/mm] c und
> maximalem Flächeninhalt des Dreiecks. Durch zyklisches
> Vertauschen der Beschriftungen hätte auch ein Dreieck mit
> den gleichen Seitenlängen und [mm]b\le[/mm] c [mm]\le[/mm] a den gleichen
> maximalen Flächeninhalt. Daraus folgt [mm]a\le[/mm] b [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] a,
> was auf a=b=c führt.
> Viele Grüße
> Abakus
>
>
Demnach gilt
2s=a+a+a=3a <=> s=3a/2
[mm] F=\wurzel(\bruch{3a}{2}*({\bruch{3a}{2}-a}^{3}))
[/mm]
[mm] F_a=\bruch{\wurzel(3a)}{2}
[/mm]
[mm] F_aa=\bruch{\wurzel(3)}{2}
[/mm]
grad F=0 <=> [mm] \bruch{\wurzel(3a)}{2}=0 [/mm] <=> a=0
Das kann ja nicht sein oder?
Danke schonmal
matheja
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Hallo matheja,
> Danke abaskus für den Hinweis.
> > Hallo,
> > angenommen, es gibt drei Seitenlängen mit [mm]a\le[/mm] b [mm]\le[/mm] c
> und
> > maximalem Flächeninhalt des Dreiecks. Durch zyklisches
> > Vertauschen der Beschriftungen hätte auch ein Dreieck mit
> > den gleichen Seitenlängen und [mm]b\le[/mm] c [mm]\le[/mm] a den gleichen
> > maximalen Flächeninhalt. Daraus folgt [mm]a\le[/mm] b [mm]\le[/mm] c [mm]\le[/mm] a,
> > was auf a=b=c führt.
> > Viele Grüße
> > Abakus
> >
> >
>
> Demnach gilt
> 2s=a+a+a=3a <=> s=3a/2
> [mm]F=\wurzel(\bruch{3a}{2}*({\bruch{3a}{2}-a}^{3}))[/mm]
> [mm]F_a=\bruch{\wurzel(3a)}{2}[/mm]
> [mm]F_aa=\bruch{\wurzel(3)}{2}[/mm]
> grad F=0 <=> [mm]\bruch{\wurzel(3a)}{2}=0[/mm] <=> a=0
>
> Das kann ja nicht sein oder?
Ersetze s und a in der Ausgangsgleichung
[mm]F=\wurzel{s*\left(s-a\right)*\left(s-b\right)*\left(s-c\right)}[/mm]
durch
[mm]s=\bruch{1}{2}U[/mm] bzw. [mm]a=U-\left(b+c\right)[/mm]
Dann kommst Du auf das Ergebnis, welches meine Vorredner schon kundgetan hat.
>
> Danke schonmal
>
> matheja
>
>
Gruß
MathePower
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Hallo abakus,
deine Beweisführung scheint blendend einfach. Du brauchst nicht einmal die Heronsche Formel.
Aber wie sieht es aus, wenn wir anstatt des Dreiecks mit maximalem dasjenige mit minimalem Flächeninhalt suchen würden ? Deine Argumentation würde doch genau gleich funktionieren, oder?
Nun haben aber die Dreiecke D und D* mit den Seitenlängen a=1, b=2, c=3 und a*=2, b*=3, c*=1 zwar den gleichen (minimalen) Flächeninhalt, nämlich F=0, dennoch gilt nicht a=b=c !
viele Grüsse al-Chwarizmi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:06 Fr 25.04.2008 | | Autor: | abakus |
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> Hallo abakus,
>
> deine Beweisführung scheint blendend einfach. Du brauchst
> nicht einmal die Heronsche Formel.
> Aber wie sieht es aus, wenn wir anstatt des Dreiecks mit
> maximalem dasjenige mit minimalem Flächeninhalt suchen
> würden ? Deine Argumentation würde doch genau gleich
> funktionieren, oder?
> Nun haben aber die Dreiecke D und D* mit den Seitenlängen
> a=1, b=2, c=3 und a*=2, b*=3, c*=1 zwar den gleichen
> (minimalen) Flächeninhalt, nämlich F=0, dennoch gilt nicht
> a=b=c !
>
> viele Grüsse al-Chwarizmi
Hallo,
du hast recht. Meine Argumentation greift erst dann, wenn wir einen Flächeninhalt größer als Null voraussetzen (was bei einem Maximum wiederum naheliegend ist).
Viele Grüße
Abakus
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