Extremwertaufgabe < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:12 Sa 27.01.2007 | | Autor: | Sara1.1. |
| Aufgabe | | Es seien r eine positive reelle Zahl und m sowie n natürliche Zahlen. Wie muss man r in zwei positive Summanden s1,s2 > 0 zerlegen (r = s1 + s2), damit [mm] s1^n [/mm] * [mm] s2^m [/mm] möglichst groß wird? |
Hallo ihr Lieben,
Eigentlich sind Extremwerte ja nicht so schwer, aber sobald ich keine konkreten Zahlen gegeben habe setzt es aus. Ich dachte mir eigentlich das [mm] s1^n [/mm] * [mm] s2^m [/mm] meine Zielfunktion ist und habe sie abgeleitet. Raus kommt dabei: n*s1^(n-1)*m*s2^(m-1). Das müsste ich ja jetzt Null setzen, aber dass funktioniert ja nicht. Muss da nicht noch das r mit einfließen? Tut mir leid das ich keine bessere Idee habe, aber ich weiß es einfach nicht.
Danke an den, der mir hilft.
LG
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> Es seien r eine positive reelle Zahl und m sowie n
> natürliche Zahlen. Wie muss man r in zwei positive
> Summanden s1,s2 > 0 zerlegen (r = s1 + s2), damit [mm]s1^n[/mm] *
> [mm]s2^m[/mm] möglichst groß wird?
> Hallo ihr Lieben,
> Eigentlich sind Extremwerte ja nicht so schwer, aber
> sobald ich keine konkreten Zahlen gegeben habe setzt es
> aus. Ich dachte mir eigentlich das [mm]s1^n[/mm] * [mm]s2^m[/mm] meine
> Zielfunktion ist und habe sie abgeleitet. Raus kommt dabei:
> n*s1^(n-1)*m*s2^(m-1).
Hallo,
so geht das nicht.
Die Zielfunktion, wie Du sie aufgestellt hast, hat ja zwei Variable, da geht das mit dem Ableiten etwas anders, ich rolle das aber hier nicht weiter auf...
Laß uns nocheinmal sammeln, was wir wissen, und noch ein bißchen umbenennen. Manches, was mit [mm] s_1 [/mm] und [mm] s_2 [/mm] schwierig ist, wird mit x und y einfacher.
Also:
Fest vorgegeben hast Du ein r [mm] \in \IR.
[/mm]
(Dieses r ist im folgenden zu behandeln wie eine Konstante, und es ist sinnig, wenn Du Dir die Aufgabe einfach einmal für z.B. r=7 durchdenktst.)
Dieses r soll zerlegt werden in die Summe r=x+y. (So wie wenn Du 7 hast und x für Wein ausgeben möchtest und y für Schokolade.)
Nun ist es doch so, daß dann y=r-x.
Optimieren sollst Du nun für fest vorgegebene m, n das Produkt
[mm] x^n*y^m=x^n*(r-x)^m=f(x). [/mm]
Deine zu optimierende Funktion hängt nur noch von x ab, und das sollte Dir keine echten Schwierigkeiten mehr bereiten.
Du mußt nun nur noch richtig ableiten nach allen Regeln der Kunst.
Gruß v. Angela
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