Extremwert mit Nebenbedingung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bestimmen sie die Maxima und Minima der Funktion
[mm] f(x,y)=4x^{2}-3xy
[/mm]
auf der Kreisscheibe
[mm] K=\{(x,y)\in \IR^{2}|x^{2}+y{2}\le 1\}. [/mm] |
Brauche mal dringend einige Denkanstöße zu obiger Aufgabe.
Hier meine bsiherigen Rechenschritte:
Zuerst hab ich den gradienten gebildet:
grad [mm] f:\vektor{8x-3y \\ -3x}
[/mm]
Dann daraus die Hess Matrix:
hess f: [mm] \pmat{ 8 & -3 \\ -3 & -3 }
[/mm]
Diese ist indefinit, es gibt also keine Extrema im Inneren der Funktion (einziger kritischer Punkt war hier (0/0))
Dann hab ich die Nebenbedingung [mm] g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1
[/mm]
mit eingebracht.
Hier gilt ja grad [mm] f=\lambda [/mm] grad g, bei g(x,y)=0
=> [mm] \vektor{8x-3y \\ -3x}=\lambda \vektor{2y\\ 2y}
[/mm]
also [mm] 8x-3y=\lambda [/mm] 2x
und [mm] -3x=\lambda [/mm] 2y
Die erste Gleichung mit y und die zweite mit x multipliziert
=> [mm] 8xy-3y^{2}=\lambda [/mm] 2xy
und [mm] -3x^{2}= \lambda [/mm] 2xy
wir können also [mm] 8xy-3y^{2}=-3x^{2} [/mm] setzen.
Außerdem habe ich jetzt versucht die Nebenbedingung noch mit einzubringen
[mm] x^{2}+y^{2}-1=0
[/mm]
=> [mm] x=\wurzel{1-y^{2}}
[/mm]
Wenn man das jetzt oben einsetzt bekommt man
[mm] -6y^{2}+8y*\wurzel{1-y^{2}}+3=0
[/mm]
Ab da komme ich dann nicht mehr so recht weiter. Wer kann mir da helfen?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:00 Do 11.12.2008 | | Autor: | djmatey |
> Bestimmen sie die Maxima und Minima der Funktion
> [mm]f(x,y)=4x^{2}-3xy[/mm]
> auf der Kreisscheibe
> [mm]K=\{(x,y)\in \IR^{2}|x^{2}+y{2}\le 1\}.[/mm]
> Brauche mal
> dringend einige Denkanstöße zu obiger Aufgabe.
>
> Hier meine bsiherigen Rechenschritte:
>
> Zuerst hab ich den gradienten gebildet:
>
> grad [mm]f:\vektor{8x-3y \\ -3x}[/mm]
>
> Dann daraus die Hess Matrix:
>
> hess f: [mm]\pmat{ 8 & -3 \\ -3 & -3 }[/mm]
>
> Diese ist indefinit, es gibt also keine Extrema im Inneren
> der Funktion (einziger kritischer Punkt war hier (0/0))
Das stimmt so nicht: Wegen [mm] \bruch{\partial -3x}{\partial y} [/mm] = 0 muss eine Null in der Hessematrix auftauchen, und dann ist sie auch nicht mehr indefinit.
>
> Dann hab ich die Nebenbedingung [mm]g(x,y)=x^{2}+y^{2}-1[/mm]
> mit eingebracht.
Die ganze Rechnerei ab hier ist mir nicht klar. Du hast doch schon raus, dass die einzige Extremstelle bei (0/0) liegt...
>
> Hier gilt ja grad [mm]f=\lambda[/mm] grad g, bei g(x,y)=0
>
> => [mm]\vektor{8x-3y \\ -3x}=\lambda \vektor{2y\\ 2y}[/mm]
Hier meinst du in der ersten Komponente des rechten Vektors wohl x...
>
> also [mm]8x-3y=\lambda[/mm] 2x
> und [mm]-3x=\lambda[/mm] 2y
> Die erste Gleichung mit y und die zweite mit x
> multipliziert
>
> => [mm]8xy-3y^{2}=\lambda[/mm] 2xy
> und [mm]-3x^{2}= \lambda[/mm] 2xy
>
> wir können also [mm]8xy-3y^{2}=-3x^{2}[/mm] setzen.
>
> Außerdem habe ich jetzt versucht die Nebenbedingung noch
> mit einzubringen
>
> [mm]x^{2}+y^{2}-1=0[/mm]
> => [mm]x=\wurzel{1-y^{2}}[/mm]
>
> Wenn man das jetzt oben einsetzt bekommt man
>
> [mm]-6y^{2}+8y*\wurzel{1-y^{2}}+3=0[/mm]
>
> Ab da komme ich dann nicht mehr so recht weiter. Wer kann
> mir da helfen?
LG djmatey
|
|
|
| |
|
Das stimmt, somit muss ich den Punkt (0/0) nochmal betrachten.
> Die ganze Rechnerei ab hier ist mir nicht klar. Du hast
> doch schon raus, dass die einzige Extremstelle bei (0/0)
> liegt...
Ja, aber das war ja die Funktion im inneren, bei den ganzen weiteren Berechnungen geht es um die Randbetrachtung unter der NB [mm] x^{2}+y^{2}=1.
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:48 Fr 12.12.2008 | | Autor: | zetamy |
> Das stimmt, somit muss ich den Punkt (0/0) nochmal
> betrachten.
Du musst nur prüfen, ob der Punkt $(0,0)$ auch die Nebenbedingung erfüllt...
>
> > Die ganze Rechnerei ab hier ist mir nicht klar. Du hast
> > doch schon raus, dass die einzige Extremstelle bei (0/0)
> > liegt...
>
> Ja, aber das war ja die Funktion im inneren, bei den ganzen
> weiteren Berechnungen geht es um die Randbetrachtung unter
> der NB [mm]x^{2}+y^{2}=1.[/mm]
Richtig. Dein Gleichungssystem war gar nicht verkehrt, bis zu dieser Stelle:
$ [mm] 8xy-3y^{2}=-3x^{2} \quad\Leftrightarrow\quad x^2+\frac{8}{3}xy-y^2=0$
[/mm]
Wenn du jetzt aber die Nebenbedingung einsetzt, kommt natürlich null raus. So soll es ja sein.
Die Gleichung ist ein quadratisches Polynom in $x$ (bzw. in $y$). Und wie rechnet man die Nullstellen eines quadratischen Polynoms aus?  (Tipp: Eine Variable als Konstante betrachten.)
Hast du die Nullstelle z.B. für x berechnet, kannst diese x in die Nebenbedingung einsetzen und erhälst so Werte für y usw.
Gruß, zetamy
|
|
|
| |
|
Ok, offensichtlich meinst du bei der Gleichung
[mm] x^{2}+\bruch{8}{3}xy-y^{2}=0 [/mm] die pq-Formel.
Eingesetzt bedeutet das:
[mm] x_{1,2}=-\bruch{4}{3} \pm \wurzel{(\bruch{4}{3})^{2}+y^{2}}
[/mm]
[mm] =>x_{1,2}=-\bruch{4}{3} \pm \wurzel{\bruch{16}{9}+y^{2}}
[/mm]
=> [mm] x_{1}=-\bruch{4}{3} [/mm] + [mm] \wurzel{\bruch{16}{9}+y^{2}}
[/mm]
und [mm] x_{2}=-\bruch{4}{3} [/mm] - [mm] \wurzel{\bruch{16}{9}+y^{2}}
[/mm]
Das eigesetzt in die NB [mm] x^{2}+y^{2}=1
[/mm]
[mm] (\bruch{16}{9} [/mm] - [mm] \bruch{8}{3}*\wurzel{\bruch{16}{9}+y^{2}} +\bruch{16}{9} +y^{2}) +y^{2}=1
[/mm]
=> [mm] \bruch{32}{9}+2y^{2}-\bruch{8}{3}*\wurzel{\bruch{16}{9}+y^{2}}=1
[/mm]
Das bringt mich jetzt noch nicht wirklich entscheidend weiter.
|
|
|
| |
|
Hallo snp_Drake!
Du hast beim Einsetzen in die  p/q-Formel das $y_$ vergessen:
[mm] $$x_{1,2} [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{4}{3}*\red{y} \pm \wurzel{\left(\bruch{4}{3}*\red{y}\right)^{2}+y^2} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
|
