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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:40 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Vorix |
| Aufgabe | | Ein rechteckiger, oben offener Behälter von [mm] 32m^3 [/mm] Inhalt soll so gebaut werden, dass seine Oberfläche minimal ist. Welche Abmessungen hat er? |
Hallo  ,
ich habe mit der Aufgabe deshalb Probleme, weil die Lagrange-Hilfsfunktion zu einem nicht-linearen Gleichungssystem führt.
Soweit bin ich bis jetzt gekommen:
Seien nachfolgend x,y,z die Breite, Länge und Höhe des Behälters.
Oberflächenfunktion
[mm]
o(x,y,z)=2*x*z+2*z*y+x*y
[/mm]
Nebenbedingung:
[mm]
x*y*z=32 \rightarrow n(x,y,z)=x*y*z-32=0
[/mm]
Lagrange Hilfsfunktion:
[mm]
F(x,y,z,\lambda)=x*y+2*x*z+2*z*y+\lambda*(x*y*z-32)
[/mm]
Partiell ableiten nach x,y,z:
[mm]
\frac {\partial F} {\partial x}=y+2*z+\lambda*y*z
[/mm]
[mm]
\frac {\partial F} {\partial y}=x+2*z+\lambda*x*z
[/mm]
[mm]
\frac {\partial F} {\partial z}=2*x+2*y+\lambda*x*y
[/mm]
[mm]
\frac {\partial F} {\partial \lambda}=x*y*z-32
[/mm]
Damit ein Extremwert vorliegt, müssen die Ableitungen =0 sein.
[mm]
y+2*z+\lambda*y*z=0
[/mm]
[mm]
x+2*z+\lambda*x*z=0
[/mm]
[mm]
2*x+2*y+\lambda*x*y=0
[/mm]
[mm]
x*y*z-32=0
[/mm]
Jetzt habe ich versucht, das Ganze aufzulösen, aber ich bekomme es einfach nicht hin. Kann mir jemand vielleicht einen Tipp geben, wie ich das Ganze angehen kann?
Vielen Dank und liebe Grüße,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Vorix,
nachdem man die Ableitungen gebildet hat, sollte man den Lagrange-Multiplikator rasch aus der Rechnung eliminieren, da er ohne weitere Bedeutung ist, d. h., auflösen nach [mm] \lambda.
[/mm]
Du erhältst:
[mm] -\lambda [/mm] = [mm] \bruch{1}{z} [/mm] + [mm] \bruch{2}{y} [/mm] = [mm] \bruch{1}{z}+ \bruch{2}{x} [/mm] = [mm] \bruch{2}{y} [/mm] + [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
daraus: x = y = 2z ; dann einsetzen in die letzte Ableitung. Es ergibt sich:
x = y = 4 z = 2
LG, Martinius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:18 Fr 27.07.2007 | | Autor: | Vorix |
Hui, das ging ja super-schnell . Vielen Dank für die Hilfe.
So wie ich das verstehe, muss ich also folgendermaßen vorgehen:
1. Die partiellen Ableitungen, die ein [mm] \lambda [/mm] enthalten, nach [mm] \lambda [/mm] umformen. Man erhält dann die folgenden Ergebnisse:
(1)
[mm]
y+2*z+\lambda*y*z=0 \rightarrow \lambda=\frac {-1} {z} - \frac {2} {y}
[/mm]
(2)
[mm]
x+2*z+\lambda*x*z=0 \rightarrow \lambda=\frac {-1} {z} - \frac {2} {x}
[/mm]
(3)
[mm]
2*x+2*y+\lambda*x*y=0 \rightarrow \lambda=\frac {-2} {y} - \frac {2} {x}
[/mm]
2. Versuchen, durch Gleichsetzen (abhängige) Lösungen zu finden
(1)=(2)
[mm]
\frac {-1} {z} - \frac {2} {y}=\frac {-1} {z} - \frac {2} {x}
y=x
[/mm]
Mit y=x:
und (2)=(3)
[mm]
\frac{-1} {z} - \frac {2} {x} = \frac {-2} {x} - \frac {2} {x} \rightarrow x=2*z
z=\frac {x} {2}
[/mm]
3. Ergebnisse in partielle Ableitung nach [mm] \lambda [/mm] einsetzen:
[mm]
x*y*z-32=0=x*x*\frac {x} {2}-32 \rightarrow x=y=4 \rightarrow z=2
[/mm]
Das müsste eigentlich soweit stimmen, oder?
Vielen Dank nochmals und liebe Grüße,
Vorix
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Hallo,
Stimmt alles so weit.
LG, Martinius
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Hi Vorix,
es wurde von Martinius eigentlich schon alles Relevante gesagt, aber eins möchte ich noch anmerken. Ich weiß nicht ob es dir aufgefallen ist, aber bei dieser Art von Aufgabe mit den Langrange-Multiplikatoren stellt die Ableitung [mm] L_{\lambda} [/mm] immer die Nebenbedingung dar. In diesem Falle: x*y*z-32=0
Somit kannst du immer schnell sehen, ob du bei (komplexeren) Aufgaben die richtige Ableitung von [mm] L_{\lambda} [/mm] gebildet hast.
Liebe Grüße
Analytiker
![[lehrer]](/images/smileys/lehrer.gif "[lehrer]")
PS: Meine Notation ist [mm] L_{\lambda} [/mm] = [mm] \bruch{\partial F}{\partial \lambda}[/mm]
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