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| Aufgabe | | Bestimme das Maximum von f(x) = x [mm] \cdot [/mm] (a - b [mm] (e^{c \cdot x} [/mm] -1)). |
Hallo,
ich habe eine Frage zu dieser Extremwertaufgabe und zwar stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch, ich habe die Produktregel angewendet und die Gleichung umgestellt, dann ergibt sich:
f'(x) = (a - b [mm] (e^{c \cdot x} [/mm] -1)) + x [mm] \cdot [/mm] (-b [mm] \cdot [/mm] c [mm] e^{c \cdot x}) \\
[/mm]
= a + b - b [mm] e^{c \cdot x} [/mm] (1+cx)
Wenn ich dies nun gleich 0 setze bekomme ich:
[mm] \frac{a + b}{b} [/mm] = [mm] e^{c \cdot x} [/mm] (1+cx)
Jetzt komme ich allerdings nicht weiter, wie kann ich dies nach x auflösen? Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke...
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Hallo mathefuchs,
fiese Aufgabe.
> Bestimme das Maximum von f(x) = x [mm]\cdot[/mm] (a - b [mm](e^{c \cdot x}[/mm]
> -1)).
> Hallo,
>
> ich habe eine Frage zu dieser Extremwertaufgabe und zwar
> stehe ich gerade etwas auf dem Schlauch, ich habe die
> Produktregel angewendet und die Gleichung umgestellt, dann
> ergibt sich:
>
> f'(x) = (a - b [mm](e^{c \cdot x}[/mm] -1)) + x [mm]\cdot[/mm] (-b [mm]\cdot[/mm] c
> [mm]e^{c \cdot x}) \\
[/mm]
> = a + b - b [mm]e^{c \cdot x}[/mm] (1+cx)
>
> Wenn ich dies nun gleich 0 setze bekomme ich:
> [mm]\frac{a + b}{b}[/mm] = [mm]e^{c \cdot x}[/mm] (1+cx)
Soweit alles richtig. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Jetzt komme ich allerdings nicht weiter, wie kann ich dies
> nach x auflösen? Ich hoffe ihr könnt mir helfen. Danke...
Tja, das geht nur numerisch, es sei denn, es wäre etwas über a und b bekannt. Für a=0 ist z.B. x=0 eine Lösung.
Gibt es denn weitere Informationen?
Grüße
reverend
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Hallo reverend,
> Gibt es denn weitere Informationen?
Leider weiß ich nur, dass a,b,c >0 sind, also ist x=0 leider keine Lösung.
> Tja, das geht nur numerisch, es sei denn, es wäre etwas
> über a und b bekannt. Für a=0 ist z.B. x=0 eine Lösung.
Wie könnte ich dies numerisch berechnen? Mit dem Newton-Verfahren oder gibt es noch andere Möglichkeiten?
Danke schon mal für deine Hilfe.
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Hallo mathefuchs06,
> Hallo reverend,
>
> > Gibt es denn weitere Informationen?
>
> Leider weiß ich nur, dass a,b,c >0 sind, also ist x=0
> leider keine Lösung.
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> > Tja, das geht nur numerisch, es sei denn, es wäre etwas
> > über a und b bekannt. Für a=0 ist z.B. x=0 eine Lösung.
>
> Wie könnte ich dies numerisch berechnen? Mit dem
> Newton-Verfahren oder gibt es noch andere Möglichkeiten?
Das Newton-Verfahren hier anzuwenden ist eine Möglichkeit.
Liegen keine speziellen Werte für a,b,c vor, so wird dies
schnell unübersichtlich.
Du kannst aber das Intervall angeben,
in dem die Nullstelle von f' liegt.
Es gilt:
[mm]e^{c*x} < \bruch{a+b}{b} =e^{c*x}*\left(1+c*x\right) < e^{c*x}*e^{c*x}=e^{2*c*x}[/mm]
>
> Danke schon mal für deine Hilfe.
Gruss
MathePower
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