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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Extremwert
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Extremwert: Berechnung, Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:41 Do 05.07.2012
Autor: Masseltof

Aufgabe
Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
f: [mm] \IR^{2} \to \IR, f(x,y)=y(1-x^{2}-y^{2}) [/mm]

Bestimmen Sie die Eigenwerte, der Hesse Matrix von f in den kritischen Punkten.

Hallo.

Obige Aufgabe soll ich lösen.
Mein Ansatz:

[mm] \nabla [/mm] f(x,y) soll sein [mm] \vektor{0\\0} [/mm]

[mm] \nabla f(x,y)=\vektor{-2xy\\1-x^{2}-3y^{2}} [/mm]
Damit sind die Extrema bei:
[mm] \vektor{0\\ \wurzel{\frac{1}{3}}}, \vektor{0\\ \wurzel{-\frac{1}{3}}}, \vektor{-1\\0}, \vektor{1\\0} [/mm]

Für die Hesse-Matrix Form benötige ich die zweite partielle Ableitung von f:
[mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta x }=-2y [/mm]
[mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta y }=-6y [/mm]
Für [mm] \frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y }=-2x =\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta x } [/mm]

Für die Hesse-Matrix Eigenwerte setze ich dann doch einfach die "Nullstellen" von [mm] \nabla [/mm] f(x,y) in die partiellen Gleichungen, die ich erhalten habe?

Über eine Korrektur würde ich mich freuen.

Grüße

        
Bezug
Extremwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 06:27 Do 05.07.2012
Autor: Richie1401

Hallo

> Bestimmen Sie die lokalen Extrema der Funktion
>  f: [mm]\IR^{2} \to \IR, f(x,y)=y(1-x^{2}-y^{2})[/mm]
>  
> Bestimmen Sie die Eigenwerte, der Hesse Matrix von f in den
> kritischen Punkten.
>  Hallo.
>  
> Obige Aufgabe soll ich lösen.
>  Mein Ansatz:
>  
> [mm]\nabla[/mm] f(x,y) soll sein [mm]\vektor{0\\0}[/mm]
>  
> [mm]\nabla f(x,y)=\vektor{-2xy\\1-x^{2}-3y^{2}}[/mm]
>  Damit sind die
> Extrema bei:
>  [mm]\vektor{0\\ \wurzel{\frac{1}{3}}}, \vektor{0\\ \wurzel{-\frac{1}{3}}}, \vektor{-1\\0}, \vektor{1\\0}[/mm]
>  
> Für die Hesse-Matrix Form benötige ich die zweite
> partielle Ableitung von f:
>  [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta x }=-2y[/mm]
>  
> [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta y }=-6y[/mm]
>  Für
> [mm]\frac{\delta^{2} f}{\delta x \delta y }=-2x =\frac{\delta^{2} f}{\delta y \delta x }[/mm]

Soweit richtig, wobei dein [mm] \delta [/mm] eher ein [mm] \partial [/mm] sein sollte.

>  
> Für die Hesse-Matrix Eigenwerte setze ich dann doch
> einfach die "Nullstellen" von [mm]\nabla[/mm] f(x,y) in die
> partiellen Gleichungen, die ich erhalten habe?

Die Eigenwerte erhält man dann über das charakteristischer Polynom [mm] det(A-\lambda E_n)=0 [/mm]
Es sei denn, es ist eine Diagonalmatrix entstanden, dann ist es ja klar.

Danach ist nur noch zu üperprüfen, ob die kritischen Punkte auch tatsächlich lokale Extremstellen sind - geschieht dann einfach durch Draufglotzen auf die Eigenwerte.

Schönen Tag!

>  
> Über eine Korrektur würde ich mich freuen.
>  
> Grüße


Bezug
                
Bezug
Extremwert: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Do 05.07.2012
Autor: Masseltof

Hallo.

Ich habe die Eigewertberechnung durchgeführt und habe folgendes Ergebnisse:

[mm] a)\vektor{0\\-\wurzel{\frac{1}{3}}} [/mm] -> pos. definit -> lok Min
[mm] b)\vektor{0\\\wurzel{\frac{1}{3}}}-> [/mm] neg. definit -> lok. Max
[mm] c)\vektor{0\\-1} [/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle
[mm] d)\vektor{0\\1} [/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle

So i. O?

Grüße

Bezug
                        
Bezug
Extremwert: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:56 Do 05.07.2012
Autor: Adamantin

Das ganze geht auch ohne Eigenwerte über die Hauptminoren [mm] $H_i(x_0,y_0$, [/mm] erfordert aber etwas mehr denken, EW sind da immer etwas sicherer, aber auch umständlicher. Aber da sich fast immer Diagonalmatrizen ergeben, sind da die beiden Kriterien gleich.

> Hallo.
>  
> Ich habe die Eigewertberechnung durchgeführt und habe
> folgendes Ergebnisse:
>  
> [mm]a)\vektor{0\\-\wurzel{\frac{1}{3}}}[/mm] -> pos. definit -> lok
> Min
>  [mm]b)\vektor{0\\\wurzel{\frac{1}{3}}}->[/mm] neg. definit -> lok.

> Max

[ok] die habe ich auch so

>  [mm]c)\vektor{0\\-1}[/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle

Gut, dass ich nochmal nachgeschaut habe, mensch! Du hast den falschen Punkt beschrieben, dein Extremwert war [mm] x_0=1 [/mm] und nicht [mm] y_0=1. [/mm] DNatürlich erhalte ich dann andere Matrizen!

[ok] ist indefinit ja, weil det(H)<0

>  [mm]d)\vektor{0\\1}[/mm] -> indefinit -> keine lok. Extremstelle

>  

[ok]

> So i. O?
>  
> Grüße


jo...

Bezug
                                
Bezug
Extremwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:59 Do 05.07.2012
Autor: Richie1401


> Das ganze geht auch ohne Eigenwerte über die Hauptminoren
> [mm]H_i(x_0,y_0[/mm], erfordert aber etwas mehr denken, EW sind da
> immer etwas sicherer, aber auch umständlicher. Aber da
> sich fast immer Diagonalmatrizen ergeben, sind da die
> beiden Kriterien gleich.
>  

Richtig, aber es ist ja nach den Eigenwerten der Hessematrix gefragt ;)
Also muss man die wohl bestimmen.

Als Eigenwerte sollten aber auch keine Vektoren rauskommen...

Bezug
                                        
Bezug
Extremwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Do 05.07.2012
Autor: Adamantin


> > Das ganze geht auch ohne Eigenwerte über die Hauptminoren
> > [mm]H_i(x_0,y_0[/mm], erfordert aber etwas mehr denken, EW sind da
> > immer etwas sicherer, aber auch umständlicher. Aber da
> > sich fast immer Diagonalmatrizen ergeben, sind da die
> > beiden Kriterien gleich.
>  >  
> Richtig, aber es ist ja nach den Eigenwerten der
> Hessematrix gefragt ;)
>  Also muss man die wohl bestimmen.
>  

Ha...dumm gelaufen ;) Natürlich sollte man der Aufgabenstellung nachkommen *schäm* ;)

> Als Eigenwerte sollten aber auch keine Vektoren
> rauskommen...

hat mich auch irritiert, er meinte aber nicht die EV oder EW, sondern hat nochmal die stationären Punkte aufgelistet und dann direkt das Ergebnis.


Bezug
                                
Bezug
Extremwert: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:02 Do 05.07.2012
Autor: Masseltof

Hallo Adamantin.

Danke für die Kontrolle und sorry für die Mühe, die du dir machen musstest.
Da benutzt man die Vorschau Funktion und dann übersieht man das wesentliche ....

Grüße :)

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