Extremstelle der Ableitung < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:32 So 13.05.2007 | | Autor: | fl4x |
| Aufgabe | | In welchem Zeitpunkt steigt bzw. fällt der Graph am schnellsten |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Um die Extremstelle der Ableitung zu bestimmen (also um raus zu finden wo die Graph am schnellsten steigt bzw. fällt), muss ich ja das maximum bzw. das minimum der 1. Ableitung bestimmen, richtig? Ich habe aber absolut keine Ahnung, wie ich das anstelle.
Am Ende müssen 2 exakte Punkte rauskommen. Einmal ein Punkt in dem der Graph am schnellsten steigt (steigung am größten) und einmal ein Punkt in dem der Graph am schnellsten fällt (steigung am kleinsten? aber kleiner als 0, denn 0 wäre ja nur eine waagerechte tangente und nicht der Punkt wo der fall am schnellsten von statten geht).
Die Frage ist allgemein gestellt, ohne eine Spezielle Funktion!
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Hallo,
du machst das genau so als würdest du die Extremstellen deiner Funktion suchen... alles hat hier nur nen "Strich" mehr..
Also f''(x) bilden und deren Nullstellen suchen
Diese Nullstellen dan in f'''(x) einsetzen.. Ist das Ergebis dann >0 handelt es sich um ein Minimum (rel.).. st das Ergebnis dann <0 haben wir dann ein Maximum der 1. Ableitung
Gesucht ist aber das ABSOLUTE Maximum. Deswegen musste noch die Ränder untersuchen. Also das Grenzwertverhalten von f''(x). Ist dieses net größer oder/und kleiner als die berechneten lokalen Extrema, dann sind unsere lokalen Extrema auch absolute Extrema, sonst sind halt die Grenzwerte für [mm] x\rightarrow\pm\infty [/mm] die gesuchten abs. Extrema.
Liebe Grüße
Andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 So 13.05.2007 | | Autor: | fl4x |
Hi, danke erstmal für die schnelle Antwort!
Bei Lokalen Extremas handelt es sich doch aber um Hoch bzw. Tiefpunkte und nicht um Punkte bei denen die 1. Ableitung am größten ist? Die notwendige bedingung ist ja, dass die Steigung=0 ist!
Oder meinst du, dass bei den Wendepunkten die Steigung bzw. der Fall am größten ist? Ich muss !uasi 2 Wendepunkte ausrechnen, bei beim Wendepunkt, der sich in dem Intervall befindet, indem der Graph steigt, handelt es sich dann um die maximale Steigung und bei dem Wendepunkt im Intervall in dem der Graph fällt um den maximalen fall?
Mit dem Grenzwertverhalten hab ich auch nicht so ganz verstanden, haben wir irgendwie noch nie im Mateh GK gemacht?!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:37 So 13.05.2007 | | Autor: | hase-hh |
moin!
> Hi, danke erstmal für die schnelle Antwort!
>
> Bei Lokalen Extrema handelt es sich doch aber um Hoch- bzw.
> Tiefpunkte und nicht um Punkte bei denen die 1. Ableitung
> am größten ist? Die notwendige Bedingung ist ja, dass die
> Steigung=0 ist!
das ist richtig. deine aufgabe lautet aber etwas anders.
> Oder meinst du, dass bei den Wendepunkten die Steigung bzw.
> der Fall am größten ist? Ich muss !uasi 2 Wendepunkte
> ausrechnen, bei beim Wendepunkt, der sich in dem Intervall
> befindet, indem der Graph steigt, handelt es sich dann um
> die maximale Steigung und bei dem Wendepunkt im Intervall
> in dem der Graph fällt um den maximalen fall?
im prinzip ja.
wie schon gesagt:
du hast eine funktion f(x).
die 1. ableitung dieser funktion ist f ' (x). f ' (x) ist wiederum eine funktion.
nennen wir sie mal, zum besseren verständnis, g(x). also f ' (x) = g(x).
nun untersuchst du diese funktion g(x) auf extremstellen.
notwendige bedingung:
g ' (x)=0
und hinreichende bedingung
g '' (x) < 0 bzw. g '' (x) > 0
so.
g(x) = f ' (x)
g ' (x) = f '' (x)
g '' (x) = f ''' (x)
mithin: f '' (x) = 0 ja, das sind die wendepunkte bezogen auf f (x)
dort ist die steigung von f (x) am größten / kleinsten.
> Mit dem Grenzwertverhalten hab ich auch nicht so ganz
> verstanden, haben wir irgendwie noch nie im Mateh GK
> gemacht?!
ich finde, es geht aus deiner aufgabenstellung nicht eindeutig hervor, dass du die absoluten maxima / minima suchst... also lasse ich mal die grenzwerte für [mm] \pm [/mm] /infty weg.
aber natürlich kann man nun noch betrachten, ob die relativen extremwerte auch die absolut größten / kleinsten werte in dem intervall
sind. dafür würde ich, wenn ich z.b. das intervall [-4;4] betrachte
noch die werte für f ' (-4) und f ' (4) berechnen und sie mit den werten
an den gefundenen lokalen extremwerten von g(x) bzw. f ' (x) vergleichen.
reicht.
gruß
wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:02 So 13.05.2007 | | Autor: | fl4x |
Super, danke, jetzt hab ichs verstanden :)
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