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Extremstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:34 Sa 25.01.2014
Autor: Fry

Hallo zusammen,

gibt es eigentlich einen Satz der Form

[mm]x_0[/mm] ist Extremstelle von [mm]f[/mm] [mm]\gdw f'(x_0)=0[/mm] [mm]\wedge[/mm] ([mm]f'[/mm] hat an der Stelle [mm]x_0[/mm] einen Vorzeichenwechsel [mm]\vee[/mm]  [mm]f''(x_0)\not=0[/mm]).

oder eine andere gdw-Aussage?

LG
Fry

        
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Extremstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:04 Sa 25.01.2014
Autor: Infinit

Hallo Fry,
solche Sätze gibt es zuhauf und man findet sie in den meisten Lehrbüchern zur Algebra. Ein Griff in mein Bücherregal brachte den Luh "Mathematik für Naturwissenschaftler I" von 1978 zutage und dort findet man den folgenden Satz, den ich hier wörtlich zitiere:

Die Funktion f sei in (a,b) differenzierbar. An der Stelle [mm] \zeta \in (a,b) [/mm] gelte [mm] f^{'}(\zeta) = 0[/mm].
1.) Hat f' an [mm] \zeta [/mm] einen Vorzeichenwechsel, so hat f an [mm] \zeta [/mm] ein Extremum. Es handelt sich um ein

lokales Maximum, wenn f'(x) von + nach - wechselt,
lokales Minimum, wenn f'(x) von - nach + wechselt.

2) Hat f' an [mm] \zeta [/mm] keinen Vorzeichenwechsel, so hat f an [mm] \zeta [/mm] kein Extremum.

Viele Grüße,
Infinit

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Extremstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:08 Sa 25.01.2014
Autor: Sax

Hi,

da muss man erst mal drauf kommen - diesen Satz in einem Algebra-Buch zu suchen.

Gruß Sax.

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Extremstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:52 Sa 25.01.2014
Autor: Fry

Hey Infinit,

vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann nicht auch der Vorzeichenwechsel
eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?

LG
Fry

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Extremstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:02 Sa 25.01.2014
Autor: Diophant

Hallo,

> Hey Infinit,

>

> vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann
> nicht auch der Vorzeichenwechsel
> eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?

Nein, das ist in dem Fall hinreichend (was dann 'notwendig' durchaus mit einschließen kann). Mach dir mal klar, dass so ein Vorzeichenwechsel für den Fall, dass f diffbar ist, hier keineswegs vom Himmel fällt, sondern was passiert hier 'zwischen' dem Vorzeichenwechsel?

Gruß, Diophant

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Extremstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:09 Sa 25.01.2014
Autor: reverend

Hallo Fry,

> vielen Dank, bin jetzt gerade etwas erstaunt. Ist dann
> nicht auch der Vorzeichenwechsel
>  eine notwendige Bedingung für eine Extremstelle?

Allerdings. Liegt kein Vorzeichenwechsel von $f'(x)$ bei [mm] x=\xi [/mm] vor, so handelt es sich um einen Sattelpunkt.
Du kannst ja mal zeigen, dass damit auch klar ist, dass [mm] f''(\xi)=0 [/mm] ist. ;-)

Grüße
reverend

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Extremstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:31 Sa 25.01.2014
Autor: Fry


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Extremstelle: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:47 Sa 25.01.2014
Autor: Fry

Korrektur!

ich wundere mich über den Satz, weil es pathologische Funktionen wie
$ [mm] f(x)=(2+sin(\frac{1}{x}))\cdot x^2 [/mm] $ für $ [mm] x\not=0 [/mm] $ und 0 für $ x=0 $
gibt, die eine Extremstelle $ [mm] x_0 [/mm] $ besitzen, die Funktion aber um die Extremstelle
wild hin und her oszilliert (also die erste Ableitung in jeder noch
so kleinen Umgebung um $ [mm] x_0 [/mm] $ unendlich oft das Vorzeichen wechselt).
(f ist überall diffbar).

LG
Fry

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Extremstelle: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:04 Sa 25.01.2014
Autor: abakus


> Korrektur!

>

> ich wundere mich über den Satz, weil es pathologische
> Funktionen wie
> [mm]f(x)=(2+sin(\frac{1}{x}))\cdot x^2[/mm] für [mm]x\not=0[/mm] und 0 für
> [mm]x=0[/mm]
> gibt, die eine Extremstelle [mm]x_0[/mm] besitzen, die Funktion
> aber um die Extremstelle
> wild hin und her oszilliert (also die erste Ableitung in
> jeder noch
> so kleinen Umgebung um [mm]x_0[/mm] unendlich oft das Vorzeichen
> wechselt).
> (f ist überall diffbar).

>

> LG
> Fry

Hallo Fry,
wenn 0 eine Extremstelle sein sollte - handelt es sich hier eigentlich um eine Minimum- oder eine Maximumstelle? 
Gruß Abakus

Bezug
                                                        
Bezug
Extremstelle: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:12 Sa 25.01.2014
Autor: Fry

Hey abakus,

also f hat an der Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] ein lokales Minimum, da $f(0)=0$ und $f(x)>0$ für [mm] $x\not=0$. [/mm]

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