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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:38 Mi 24.03.2010 | | Autor: | sandy18 |
| Aufgabe | Es gilt:
sk(x)= 34 -4x -(k²/x)
Zeigen sie, dass für die Ableitung sk' gilt: sk'(x)= -4 + (k²/x²)
(1)Weisen sie nach, dass jede Kurve der Schar 2 Punkte mit waagerechter Tangente hat.
(2) Untersiche Sie, ob folgende Aussage wahr ist:
Der Mittelpunkt der Strecke, die man erhält, wenn man die beiden Punkte einer Kurve mit waagerechter Tangente verbindet, ist für jeden Wert von k (k>0) derselbe |
Also der Nachweis der Ableitung ist mir klar.
Mein Problem liegt zum einen in (1): Ich hab mir folgendes gedacht: Eine Tangente berührt ja nur einen Punkt. Ich soll ja nachweisen das jede Kurve 2 Punkte hat, so das eine waagerechte Tangente entstehen kann. Wenn die Tangente also waagerecht ist, dachte ich mir, dass dann ja je Kurve 2 Extrempunkte vorliegen müssen. Und das sind dann die beiden Punkte wo je eine waagerechte Tangente anliegt.
Allerings hab ich wenn ich sk'(x) gleich Null setzte nur einen EP raus, nämlich: K/2
Kann mir da bitte jemand helfen? Ist mein Ansatz schon völlig falsch?
und zu (2).. das versteh ich überhaupt nicht, und wüsste nicht wie ich da anfangen soll.
Schon mal Danke im vorraus.
Liebe Grüße
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Hallo Sandy,
wir machen erst mal die Sache mit den Extremstellen, zu 2.kommen wir später.
Der Ansatz mit sk'(x) = 0 ist schon mal absolut richtig. Beachte aber, dass
2 Stellen x existieren, an denen gilt: [mm] x^2 [/mm] = a nämlich [mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{a}. [/mm] Jetzt klar, wo die 2.Stelle x ist?
Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:59 Mi 24.03.2010 | | Autor: | sandy18 |
Also das dachte ich mir ja auch, dadurch das x² da ist, gibt es 2 lösungen: ein neg. und ein pos.
Aber dann hab ich das gerechnet und dann kam letztendlich doch nur eine raus, ich schreib mal meine Rechnung auf und du kannst mir ja sagen, was daran falsch ist:
-4 + k²/x² = 0 ( +4)
K²/x² = 4 ( mal x²)
K² = 4 x² (Wurzel ziehen)
k= 2x (durch 2)
K/2 = x
Und dadurch das ja beim Wurzelziehen auch auf der linken Seite ein Quadrat ist, ist das Ergebnis ja einfach nur k und nicht pos k und neg k, oder liege ich da falsch?
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> Also das dachte ich mir ja auch, dadurch das x² da ist,
> gibt es 2 lösungen: ein neg. und ein pos.
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> Aber dann hab ich das gerechnet und dann kam letztendlich
> doch nur eine raus, ich schreib mal meine Rechnung auf und
> du kannst mir ja sagen, was daran falsch ist:
>
> -4 + k²/x² = 0 ( +4)
>
> K²/x² = 4 ( mal x²)
>
> K² = 4 x² (Wurzel ziehen)
hier würde ich erst mal noch durch 4 teilen
> k= 2x (durch 2)
[mm] \bruch{k^2}{4} [/mm] = [mm] x^2
[/mm]
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \pm \wurzel{\bruch{k^2}{4}}
[/mm]
>
> Und dadurch das ja beim Wurzelziehen auch auf der linken
> Seite ein Quadrat ist, ist das Ergebnis ja einfach nur k
> und nicht pos k und neg k, oder liege ich da falsch?
das stimmt, aus dem [mm] k^2 [/mm] wird mit der Wurzel einfach nur k aber was wird aus der 4?
[mm] x_{1,2} [/mm] = [mm] \bruch{k}{\pm \wurzel{4}}
[/mm]
>
Gruss Christian
Korrektur, siehe auch untenstehenden Hinweis von Schachuzipus
[mm] \wurzel{k^2} [/mm] = |k| , da k < 0 möglich.
Ich hatte mich da mit der Bedingung k>0 aus dem 2.Teil der Aufgabenstellung selber verwirrt.
Danke und nochmal Gruss Christian
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:11 Mi 24.03.2010 | | Autor: | sandy18 |
Ahja, ok das verstehe ich dann.
Ich dachte wenn man aus 4 die Wurzel zieht, ist das einfach nur 2, dass das dann neg und pos ist, wusste ich nicht.
Aber super, danke für die Antwort!
Wenn du dir die (2) auch angucken könnest wäre das super nett :)
Liebe Grüße
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ok du hast also die beiden Extrempunkte mit [mm] (-\bruch{k}{2}/ s_{k}(-\bruch{k}{2})) [/mm] und [mm] (\bruch{k}{2}/s_{k}(\bruch{k}{2}))
[/mm]
Die Koordinaten des Mittelpunktes der Verbindungsgeraden kriegst du, indem du [mm] \bruch{\Delta y}{2} [/mm] und [mm] \bruch{\Delta x}{2} [/mm] bildest.
[mm] \Delta [/mm] y = [mm] s_{k}(\bruch{k}{2}) [/mm] + [mm] s_{k}(-\bruch{k}{2}) [/mm] mit [mm] \Delta [/mm] x dann genauso. Wenn der Punkt nicht mehr von k abhängt, ist er für alle k der gleiche.
Gruss Christian
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Hallo,
> > Also das dachte ich mir ja auch, dadurch das x² da ist,
> > gibt es 2 lösungen: ein neg. und ein pos.
> >
> > Aber dann hab ich das gerechnet und dann kam letztendlich
> > doch nur eine raus, ich schreib mal meine Rechnung auf und
> > du kannst mir ja sagen, was daran falsch ist:
> >
> > -4 + k²/x² = 0 ( +4)
> >
> > K²/x² = 4 ( mal x²)
> >
> > K² = 4 x² (Wurzel ziehen)
> hier würde ich erst mal noch durch 4 teilen
> > k= 2x (durch 2)
> [mm]\bruch{k^2}{4}[/mm] = [mm]x^2[/mm]
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\pm \wurzel{\bruch{k^2}{4}}[/mm]
> >
> > Und dadurch das ja beim Wurzelziehen auch auf der linken
> > Seite ein Quadrat ist, ist das Ergebnis ja einfach nur k
> > und nicht pos k und neg k, oder liege ich da falsch?
> das stimmt, aus dem [mm]k^2[/mm] wird mit der Wurzel einfach nur k ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Das stimmt doch nicht. Nirgendwo in (1) ist $k>0$ vorausgesetzt, daher ist [mm] $\sqrt{k^2}=|k|$
[/mm]
> aber was wird aus der 4?
Was soll daraus werden? Es ist [mm] $\sqrt{4}=2$
[/mm]
> [mm]x_{1,2}[/mm] = [mm]\bruch{k}{\pm \wurzel{4}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Das ist extrem ungünstig und verwirrend aufgeschrieben!
Besser $x=\frac{|k|}{2}=\begin{cases} \frac{k}{2}, & \mbox{für } k\ge 0} \\ \frac{-k}{2}, & \mbox{für } k<0 \end{cases}$
> >
> Gruss Christian
LG
schachuzipus
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