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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:24 Do 20.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Gegeben ist die Funktion f(x)=3sin(2x-2)+1 im Intervall [mm] I=[1;\pi+1]
[/mm]
Bestimmen Sie die Lage der Extrempunkte. |
Hallo^^
Ich hab zu dieser Aufgabe die lösung,aber ich versteh sie nicht so ganz,kann mir die jemand erklären?
Also zunächst die Ableitungen
f'(x)=6cos(2x-2)
f''(x)=-12sin(2x-2)
Die Ableitungen sind mir klar und dass man f'=0 setzen muss auch
6cos(2x-2)=0
cos(2x-2)=0
Bis hierhin hab ich alles verstanden,jetzt haben die als Lösung angegeben:
[mm] 2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi
[/mm]
[mm] x=\bruch{\pi}{4}+1+k\pi
[/mm]
[mm] x=\bruch{\pi}{4}+1 [/mm] (k=0)
Ich versteh nicht wie die drauf kommen dass [mm] 2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi [/mm] ist,woher kommen diese [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] und muss man [mm] 2k\pi [/mm] immer dazu schreiben?Und wie kommt man drauf,dass k=0 ist?
[mm] 2x'-2=-\bruch{\pi}{2}+2k\pi
[/mm]
[mm] x'=-\bruch{\pi}{4}+1+k\pi
[/mm]
[mm] x'=\bruch{3}{4}\pi+1 [/mm] (k=1)
Das ist fast das selbe wie oben nur dass hier k=1 ist,aber wie kommt man drauf?Das versteh ich nicht.
Vielen dank für eure Hilfe
lg
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Ok, ganz kurz.
> Also zunächst die Ableitungen
> f'(x)=6cos(2x-2)
> f''(x)=-12sin(2x-2)
>
> Die Ableitungen sind mir klar und dass man f'=0 setzen muss
> auch
>
> 6cos(2x-2)=0
> cos(2x-2)=0
> Bis hierhin hab ich alles verstanden,
Offensichtlich. Stimmt ja auch alles.
> Lösung...
>
> [mm]2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{\pi}{4}+1+k\pi[/mm]
>
> [mm]x=\bruch{\pi}{4}+1[/mm] (k=0)
>
> Ich versteh nicht wie die drauf kommen dass
> [mm]2x-2=\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm] ist,woher kommen diese
> [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] ...
Na, wenn [mm] \cos{\varphi}=0, [/mm] dann ist [mm] \varphi [/mm] was?
> ...und muss man [mm]2k\pi[/mm] immer dazu schreiben?
Ja. Wenn die Gleichung [mm] \cos{\varphi}=u [/mm] überhaupt auflösbar ist, hat sie unendlich viele Lösungen, nämlich [mm] \varphi=\pm\arccos{u}+k*2\pi
[/mm]
Verwirrt? Hier ist es nur deswegen anders, weil Du den einzigen Sonderfall hast, den man anders schreiben kann, aber nicht muss. Es hätte auch heißen können: [mm] 2x+2=\pm\bruch{\pi}{2}+k*2\pi
[/mm]
Aber zurück zu der Darstellung Deiner Lösung, [mm] \bruch{\pi}{2}+k\pi
[/mm]
> Und wie kommt man drauf,dass k=0 ist?
Durch Betrachten des Definitionsbereichs. Bestimme alle k, für die [mm] x\in[1;\pi+1]
[/mm]
> [mm]2x'-2=-\bruch{\pi}{2}+2k\pi[/mm]
>
> [mm]x'=-\bruch{\pi}{4}+1+k\pi[/mm]
>
> [mm]x'=\bruch{3}{4}\pi+1[/mm] (k=1)
>
> Das ist fast das selbe wie oben nur dass hier k=1 ist,aber
> wie kommt man drauf?Das versteh ich nicht.
Genauso wie oben, Bedingung ist [mm] x\in[1;\pi+1]
[/mm]
Bestimme übrigens mal nur zur Übung die allgemeine Lösungsform für den Sinus. Sie sieht logischerweise ein bisschen anders aus als für den Cosinus, der ja symmetrisch zur y-Achse ist.
> Vielen dank für eure Hilfe
>
> lg
Gern doch.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:08 Do 20.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Achso,ok jetzt hab ichs verstanden,danke.
> Bestimme übrigens mal nur zur Übung die allgemeine
> Lösungsform für den Sinus. Sie sieht logischerweise ein
> bisschen anders aus als für den Cosinus, der ja symmetrisch
> zur y-Achse ist.
>
Wie meinst du das,allgemeine Lösungsform?Meinst du a*sin(bx+c)+d ?
Ich hab grad mal ein Stückchen weitergerechnet,man sollte jetzt die Wendepunkte der Funktion bestimmen für [mm] 1
Ich hab sie folgendermaßen ausgerechnet:
f''(x)=0
-12sin(2x-2)=0
[mm] 2x-2=0+2k\pi
[/mm]
[mm] x=1+k\pi [/mm] (k=1)
[mm] x=\pi+1
[/mm]
Ich find das aber komisch,weil x ja zwischen 1 und [mm] \pi+1 [/mm] liegen soll,jetzt ist aber [mm] x=\pi+1,ist [/mm] das überhaupt zulässig weil x eigentlich kleiner als [mm] \pi+1 [/mm] sein muss oder?
Ich hab diesen Wert jetzt mal in f'''(x) eingesetzt
f'''(x)=-24cos(2x-2)
[mm] f'''(\pi+1)=-24\not=0
[/mm]
[mm] f(\pi+1)=0
[/mm]
Wendepunkt [mm] (\pi+1/0)
[/mm]
Kann man das jetzt gelten lassen oder nicht,ich glaube nicht oder?
lg
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Wo kommt denn am Ende die Teilung durch Null her?
Du hast hier zwei Lösungen für x, nämlich 1 und [mm] \pi+1. [/mm] Beide gehören zum angegebenen Intervall: eckige Klammern heißen ja "inklusive der angegebenen Grenze".
Mit allgemeiner Form meinte ich sowas wie die vorher angegebene Form für eine Auflösung des Cosinus, die ja anfing mit [mm] \pm\arccos{...}
[/mm]
Wie müsste so eine Gleichung mit dem [mm] \arcsin [/mm] aussehen? Der ist ja nicht zur Geraden [mm] \a{}x=0 [/mm] symmetrisch, sondern z.B. zu [mm] x=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Fr 21.11.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
> Mit allgemeiner Form meinte ich sowas wie die vorher
> angegebene Form für eine Auflösung des Cosinus, die ja
> anfing mit [mm]\pm\arccos{...}[/mm]
> Wie müsste so eine Gleichung mit dem [mm]\arcsin[/mm] aussehen? Der
> ist ja nicht zur Geraden [mm]\a{}x=0[/mm] symmetrisch, sondern z.B.
> zu [mm]x=\bruch{\pi}{2}[/mm]
hmm,ich hätte gesagt,dass sie genauso aussieht nur das anstatt cos sin steht ?
lg
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Nein, dann wäre die Lösung ja auch zu x=0 (also der y-Achse) symmetrisch. Das ist der Sinus aber nicht.
Die gesuchte Gleichung mit dem [mm] \arcsin [/mm] sieht so aus:
[mm] \varphi=\bruch{\pi}{2}\pm\left(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{u}\right)+k*2\pi=\pm\left(\bruch{\pi}{2}-\arcsin{u}\right)+\bruch{4m+1}{2}\pi
[/mm]
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