Extrempunktberechnung v. x^{4} < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Ich dachte eigentlich die Berechnungh von Extrempunkten hab ich verstanden.
Extrempunkte sind dort wo f'(x)=0 & [mm] f''(x)\not=0
[/mm]
Jetzt aber stellt mich z. B. [mm] f(x)=x^{4} [/mm] vor ein Problem:
f'(x) = [mm] 4x^{3} [/mm] = 0; [mm] \Rightarrow [/mm] x = 0;
f''(x) = [mm] 12x^{2}; [/mm] f''(0) = 0;
Das würde doch bedeuten [mm] x^4 [/mm] hat hier keinen Extrempunkt:
Aber [mm] x^{4} [/mm] hat doch hier einen Tiefpunkt???
Was bedenke ich nicht? Was hab ich überlesen? Hat vlt. jemand einen Link wo genau das nochmal beschrieben wird?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:18 Fr 12.01.2018 | | Autor: | fred97 |
> Ich dachte eigentlich die Berechnungh von Extrempunkten hab
> ich verstanden.
> Extrempunkte sind dort wo f'(x)=0 & [mm]f''(x)\not=0[/mm]
> Jetzt aber stellt mich z. B. [mm]f(x)=x^{4}[/mm] vor ein Problem:
> f'(x) = [mm]4x^{3}[/mm] = 0; [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0;
> f''(x) = [mm]12x^{2};[/mm] f''(0) = 0;
>
> Das würde doch bedeuten [mm]x^4[/mm] hat hier keinen Extrempunkt:
> Aber [mm]x^{4}[/mm] hat doch hier einen Tiefpunkt???
> Was bedenke ich nicht? Was hab ich überlesen? Hat vlt.
> jemand einen Link wo genau das nochmal beschrieben wird?
Die Regel lautet : wenn f'(x)=0 und f''(x) [mm] \ne [/mm] 0,so hat f in x einlokales Extremum.
Dass die Umkehrung i.a. falsch ist, zeigt Dein obiges Beispiel
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Die Zusammenhänge sind etwas komplizierter, als man es sich wünscht.
Zunächst: f sei im betrachteten Bereich zwei mal diffbar.
f'(x)=0 $ [mm] \gdw [/mm] $ bei x liegt ein lokales Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt vor.
Das heißt:
Nur dort können diese Punkte vorliegen. Damit kreist du die Möglichkeiten kolossal ein, weißt aber normaler Weise nicht, welche Art nun vorliegt.
Wenn nun f"(x) an einem solchen Punkt >0 (bzw. <0) ist, dann liegt dort ein lokales Minimum (bzw. Maximum) vor.
Wenn aber f"(x) an einem solchen Punkt =0 ist, dann liegt dort ein lokales Minimum, Maximum oder ein Sattelpunkt vor. - Dann ist man also (zunächst) so schlau wie vorher.
Nun könnte man sagen: und wann liegt ein Sattelpunkt vor? Da bleibt doch dann nur noch f"(x)=0. Ja, nur bei f"(x)=0 kann ein Sattelpunkt vorliegen, es kann aber trotzdem auch ein Minimum oder Maximum sein.
Bei einem Sattelpunkt muss also f"(x)=0 sein, bei einem Minimum muss f"(x) $ [mm] \ge [/mm] $ 0 sein, 0 ist auch erlaubt, bei einem Maximum entsprechend $ [mm] \le [/mm] $ 0.
Ist f"(x)>0, geht nur Minimum, ist f"(x)<0, geht nur Maximum, ist f"(x)=0 geht alles drei.
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Hallo,
in diesem Fall musst kannst du die 4. Ableitung untersuchen. Ist diese ebenfalls Null, dann die 6. usw.
Kommt irgendwann eine geradzahlige Ableitung ungleich Null, dann hast du ein Extremum nachgewiesen.
Hier ist [mm] f^{(4)}(0)=f^{(4)}(x)=24>0
[/mm]
Also ist (0|0) ein lokales Minimum von f (und in diesem Fall natürlich auch ein globales).
Gruß, Diophant
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> Jetzt aber stellt mich z. B. [mm]f(x)=x^{4}[/mm] vor ein Problem:
> f'(x) = [mm]4x^{3}[/mm] = 0; [mm]\Rightarrow[/mm] x = 0;
> f''(x) = [mm]12x^{2};[/mm] f''(0) = 0;
Hallo,
in solchen Situationen kann das Vorzeichenwechselkriterium weiterhelfen:
Du hast ausgerechnet, daß der Graph an der Stelle x=0 eine waagerechte Tangente hat.
Gelingt es Dir zu zeigen, daß der Graph links davon steigt und rechts davon fällt, weißt Du, daß Du an der Stelle einen Hochpunkt hast,
ist es andersherum, handelt es sich um einen Tiefpunkt.
Schau die Steigung (1. Ableitung) links und rechts der ausgerechneten Stelle an.
Wechselt das Vorzeichen, so hast Du einen Extrempunkt gefunden.
Hier:
[mm]\begin{tabular}[ht]{ccc} x=-1 & x=0 & x=+1\\ f'(-1)=-4 & f'(0)=0 & f'(1)=4\\ \end{tabular}[/mm]
Vorzeichenwechsel von - nach +,
also Tiefpunkt.
LG Angela
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> Hallo,
>
> in solchen Situationen kann das Vorzeichenwechselkriterium
> weiterhelfen:
>
> Du hast ausgerechnet, daß der Graph an der Stelle x=0 eine
> waagerechte Tangente hat.
> Gelingt es Dir zu zeigen, daß der Graph links davon
> steigt und rechts davon fällt, weißt Du, daß Du an der
> Stelle einen Hochpunkt hast,
> ist es andersherum, handelt es sich um einen Tiefpunkt.
>
> Schau die Steigung (1. Ableitung) links und rechts der
> ausgerechneten Stelle an.
> Wechselt das Vorzeichen, so hast Du einen Extrempunkt
> gefunden.
>
> Hier:
>
> [mm]\begin{tabular}[ht]{ccc} x=-1 & x=0 & x=+1\\ f'(-1)=-4 & f'(0)=0 & f'(1)=4\\ \end{tabular}[/mm]
>
> Vorzeichenwechsel von - nach +,
> also Tiefpunkt.
>
> LG Angela
Hallo Angela
danke für diese Ergänzung, welche zeigt, dass man sich
bei solchen Untersuchungen nicht immer nur auf die Werte
von Ableitungen an der zu untersuchenden Stelle stützen muss.
Aber auch die Untersuchung auf Vorzeichenwechsel muss
mit Vorsicht angewandt werden.
Es wäre etwa falsch, folgendes zu behaupten:
"Falls für die differenzierbare Funktion f gilt:
f'(a) = 0 und f'(a-1) < 0 und f'(a+1) > 0 ,
dann hat f an der Stelle a ein Minimum."
Ich verzichte jetzt darauf, Gegenbeispiele anzugeben
und überlasse dies gerne den geneigten Leserinnen
und Lesern ...
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:59 Sa 13.01.2018 | | Autor: | donquijote |
> > Hallo,
> >
> > in solchen Situationen kann das Vorzeichenwechselkriterium
> > weiterhelfen:
> >
> > Du hast ausgerechnet, daß der Graph an der Stelle x=0 eine
> > waagerechte Tangente hat.
> > Gelingt es Dir zu zeigen, daß der Graph links davon
> > steigt und rechts davon fällt, weißt Du, daß Du an der
> > Stelle einen Hochpunkt hast,
> > ist es andersherum, handelt es sich um einen
> Tiefpunkt.
> >
> > Schau die Steigung (1. Ableitung) links und rechts der
> > ausgerechneten Stelle an.
> > Wechselt das Vorzeichen, so hast Du einen Extrempunkt
> > gefunden.
> >
> > Hier:
> >
> > [mm]\begin{tabular}[ht]{ccc} x=-1 & x=0 & x=+1\\ f'(-1)=-4 & f'(0)=0 & f'(1)=4\\ \end{tabular}[/mm]
>
> >
> > Vorzeichenwechsel von - nach +,
> > also Tiefpunkt.
> >
> > LG Angela
>
>
>
> Hallo Angela
>
> danke für diese Ergänzung, welche zeigt, dass man sich
> bei solchen Untersuchungen nicht immer nur auf die Werte
> von Ableitungen an der zu untersuchenden Stelle stützen
> muss.
>
> Aber auch die Untersuchung auf Vorzeichenwechsel muss
> mit Vorsicht angewandt werden.
>
> Es wäre etwa falsch, folgendes zu behaupten:
>
> "Falls für die differenzierbare Funktion f gilt:
> f'(a) = 0 und f'(a-1) < 0 und f'(a+1) > 0 ,
> dann hat f an der Stelle a ein Minimum."
>
> Ich verzichte jetzt darauf, Gegenbeispiele anzugeben
> und überlasse dies gerne den geneigten Leserinnen
> und Lesern ...
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
Hallo,
es gibt aber schon ein relativ einfaches Kriterium, das man anwenden kann:
Ist f auf [mm]\mathbb{R}[/mm] stetig differenzierbar und sind [mm]x_1<...
Im betrachteten Beispiel folgt also aus f'(-1)<0<f'(1), dass an der Stelle x=0 ein Minimum vorliegt, da 0 die einzige Nullstelle von f' ist.
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> es gibt aber schon ein relativ einfaches Kriterium, das
> man anwenden kann:
> Ist f auf [mm]\mathbb{R}[/mm] stetig differenzierbar und sind
> [mm]x_1<...
> den Teilintervallen
> [mm](-\infty,x_1),(x_1,x_2),...,(x_{n-1},x_n),(x_n,\infty)[/mm]
> jeweils konstantes Vorzeichen. Dann muss man aus jedem
> dieser Intervalle nur einen Wert einsetzen und kann daraus
> für jedes [mm]x_k[/mm] erkennen, ob ein Maximum, Minimum oder
> nichts von beiden vorliegt.
> Im betrachteten Beispiel folgt also aus f'(-1)<0<f'(1),
> dass an der Stelle x=0 ein Minimum vorliegt, da 0 die
> einzige Nullstelle von f' ist.
Da forderst du aber eben auch erheblich stärkere Kenntnisse
über die Funktion f als deren bloße Differenzierbarkeit
und einzelne Werte von f'(x).
LG , Al-Chw.
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