Extremalwertaufgabe (Zaun) < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Auf einem Grundstück soll mit einem 100 m langen Zaun eine rechteckige Schaffläche eingegrenzt werden. Dabei soll eine auf dem Grundstück vorhandene Mauer von 40 m genutzt werden. Bestimmen Sie die maximal Fläche.
Skizze: die Mauer soll unten bei a integriert werden. |
Hallo,
ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt und erhoffe mir hier Hilfe:
Die Extremalbedingung mit A(a,b)= a*b ---> Maximal.
Doch ich weiß nicht wie ich bei der Nebenbedingung die Mauer integrieren soll?
Oder sie die Nebenbedingung dann so aus?:
U= 140= 2a+2b, falls sie so aussieht, dann einfach nach b auflösen?
Vielen Dank für Eure Bemühungen.
Lisa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:13 So 05.06.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Die Nebenbedingung würde ich etwas anders beginnen, nämlich:
100=a+(a-40)+2b, was umgefornt aber auch genau deiner Bedingung entspricht.
Nun gilt:
100=a+(a-40)+2b
<=> b=70-a
Und damit ergibt sich:
A(a)=a(70-a)
Und hiervon bestimme nun das Maximum.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 So 05.06.2011 | | Autor: | lischen91 |
Vielen, vielen Dank, für die schnelle Antwort, meine Mathestunde und die Präsentation der Aufgabe ist gerettet.
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So habe die Aufgabe nun gelöst und wollte mir nochmal eine Rückmeldung holen, ob ich denn damit richtig liege:
Wir hatten dann ja A(a)= a(70-a),
ich habe dann folgende Zielfunktion erhalten: A(a)= 70a-a²,
maximal wenn A´(a)=0 und A´´(a)<0
A´(a)= 70-2a
--> a=35
Überprüfung von A´´(a)= -2<0 ---> Maximum
Berechnung der fehlenden Variablen: b=70-35=35
Berechnung der max. Fläche: Amax(35)= 35*35= 1225
Die maximal Fläche beträgt also 1225 m², bei einer Seitenlänge von jeweils 35 m.
Vielen Dank nochmal, ich hoffe die habe jetzt die richtige Lösung
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:59 So 05.06.2011 | | Autor: | abakus |
> So habe die Aufgabe nun gelöst und wollte mir nochmal eine
> Rückmeldung holen, ob ich denn damit richtig liege:
>
> Wir hatten dann ja A(a)= a(70-a),
>
> ich habe dann folgende Zielfunktion erhalten: A(a)=
> 70a-a²,
> maximal wenn A´(a)=0 und A´´(a)<0
> A´(a)= 70-2a
> --> a=35
> Überprüfung von A´´(a)= -2<0 ---> Maximum
>
> Berechnung der fehlenden Variablen: b=70-35=35
> Berechnung der max. Fläche: Amax(35)= 35*35= 1225
> Die maximal Fläche beträgt also 1225 m², bei einer
> Seitenlänge von jeweils 35 m.
>
> Vielen Dank nochmal, ich hoffe die habe jetzt die richtige
> Lösung
Hallo,
du hast das lokale Maximum berechnet.
Offen ist: ist das lokale auch das globale Maximum?
Gruß Abakus
>
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So habe es natürlich doch falsch gemacht, und es jetzt aber nach einer ausführlichen Standpauke meines Lehrer verstanden...möchte mich nun noch berichtigen
Die Extremalbedingung muss heißen: A(a,b)= (a+40)*b ---> Max.
(ich hatte ja die Mauer garnicht berücksichtigt)
daraus ergibt sich folgende Nebenbedingung:
U= 100= 2a+40+2b
b= 30-a
dann die gefundene Variable einsetzen und es ergibt sich die Zielfunktion:
A(a)= -a²-10a+1200
maximal, wenn A´(a)=0 und A´´(a)<0
A´(a)= -2a-10, daraus folgt: a= -5
Überprüfung von A´´(a)= -2<0 --> Maximum
Berechnung der fehlenden Variablen: b= 30-5=25
Berechnung der max. Fläche: Amax= 875m²
So hoffe nun es stimmt alles
Lisa
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Hallo Lisa,
es gibt fast nie nur einen Weg, eine Aufgabe zu lösen. Zumindest bei der Benennung und auch der Definition der verwendeten Variablen gibt es es sicher immer Alternativen.
> So habe es natürlich doch falsch gemacht, und es jetzt
> aber nach einer ausführlichen Standpauke meines Lehrer
> verstanden...möchte mich nun noch berichtigen
> Die Extremalbedingung muss heißen: A(a,b)= (a+40)*b --->
> Max.
> (ich hatte ja die Mauer garnicht berücksichtigt)
Das hängt vom Ansatz ab. Hier ist das eingezäunte Gehege rechteckig (was eigentlich immer angenommen wird, obwohl es nicht das beste Ergebnis liefert) und hat die Seitenlängen a+40 bzw. b. Man hätte sie auch c und d nennen können und müsste damit auch die Nebenbedingung ganz anders aufstellen.
> daraus ergibt sich folgende Nebenbedingung:
> U= 100= 2a+40+2b
> b= 30-a
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> dann die gefundene Variable einsetzen und es ergibt sich
> die Zielfunktion:
> A(a)= -a²-10a+1200
> maximal, wenn A´(a)=0 und A´´(a)<0
> A´(a)= -2a-10, daraus folgt: a= -5
Oha. Vorsicht. Das ist richtig gerechnet, aber was sagt Dir denn eine negative Länge über den Verbrauch des Baumaterials?
> Überprüfung von A´´(a)= -2<0 --> Maximum
>
> Berechnung der fehlenden Variablen: b= 30-5=25
> Berechnung der max. Fläche: Amax= 875m²
> So hoffe nun es stimmt alles
Rechnerisch richtig; praktisch unsinnig. Du verbrauchst nun 35m+25m+25m=85m Zaun - wie Du Dir leicht überlegen kannst, könnte man die übrigen 15m leicht zur Vergrößerung des Gatters einsetzen.
Die richtige Lösung lautet hier a=0, b=30. Damit kannst Du eine Fläche von 1200m² schaffen, was eindeutig besser ist - und sogar nachweislich das beste mögliche Ergebnis (wie gesagt: für ein rechteckiges Gehege).
Grüße
reverend
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