Extrema von Fkt. mehrerer Vari < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:48 Do 15.01.2009 | | Autor: | Owen |
| Aufgabe | gegeben sei die Funktion:
[mm] f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2*x_{2}^{2}+3*x_{3}^{3}+x_{1}*x_{2}-x_{1}*x_{3}+3*x_{2}*x_{3}-2*x_{1}-8*x_{2}-8*x_{3}
[/mm]
Berechnen Sie die Extremstelle der Funktion! |
Hallo Leute,
das Vorgehen bei Funktionen zweier Variablen kennen ich bereits. Nun habe ich drei Variablen.
Man muss normalerweise die Funktion erst nach jeder Variable einmal ableiten, und Null setzen:
[mm] f'x_{1}=2*x_{1}+x_{2}-x_{3}-2=0 [/mm] (1)
[mm] f'x_{2}=4*x_{2}+x_{1}+3*x_{3}-8=0 [/mm] (2)
[mm] f'x_{3}=6*x_{3}-x_{1}+3*x_{2}-8=0 [/mm] (3)
So, nun müsste ich normalerweise bei der ersten Gleichung für [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] Werte finden, bei denen die Gleichung 0 wird. Das wird hier aber zunehmenst schwer auf den ersten Blick Werte zu finden. Einfacher wäre es dieses Gleichungssystem zu lösen. Man bekommt in diesem Falle die Lösung:
[mm] x_{1}=1
[/mm]
[mm] x_{2}=1
[/mm]
[mm] x_{3}=1
[/mm]
Jetzt müsste ich die Hessematrix bilden. Bei einer Funktion zweier Variablen sieht sie so aus:
[mm] H(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}}
[/mm]
Wie sieht sie hier aus?
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> gegeben sei die Funktion:
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> [mm]f(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{2}+2*x_{2}^{2}+3*x_{3}^{3}+x_{1}*x_{2}-x_{1}*x_{3}+3*x_{2}*x_{3}-2*x_{1}-8*x_{2}-8*x_{3}[/mm]
>
> Berechnen Sie die Extremstelle der Funktion!
> Hallo Leute,
>
> das Vorgehen bei Funktionen zweier Variablen kennen ich
> bereits. Nun habe ich drei Variablen.
> Man muss normalerweise die Funktion erst nach jeder
> Variable einmal ableiten, und Null setzen:
>
> [mm]f'x_{1}=2*x_{1}+x_{2}-x_{3}-2=0[/mm] (1)
> [mm]f'x_{2}=4*x_{2}+x_{1}+3*x_{3}-8=0[/mm] (2)
> [mm]f'x_{3}=6*x_{3}-x_{1}+3*x_{2}-8=0[/mm] (3)
>
> So, nun müsste ich normalerweise bei der ersten Gleichung
> für [mm]x_{1}[/mm] und [mm]x_{2}[/mm] Werte finden, bei denen die Gleichung 0
> wird. Das wird hier aber zunehmenst schwer auf den ersten
> Blick Werte zu finden. Einfacher wäre es dieses
> Gleichungssystem zu lösen. Man bekommt in diesem Falle die
> Lösung:
> [mm]x_{1}=1[/mm]
> [mm]x_{2}=1[/mm]
> [mm]x_{3}=1[/mm]
>
> Jetzt müsste ich die Hessematrix bilden. Bei einer Funktion
> zweier Variablen sieht sie so aus:
> [mm]H(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} \\ f_{yx} & f_{yy}}[/mm]
>
> Wie sieht sie hier aus?
Hallo,
so: [mm]H(x,y)=\pmat{ f_{xx} & f_{xy} &f_x_z\\ f_{yx} & f_{yy}&f_y_z\\f_{zx} & f_{zy} &f_z_z}[/mm].
(Die x,y,z sind bei Dir jetzt [mm] x_1, x_2, x_3.)
[/mm]
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:56 Do 15.01.2009 | | Autor: | Owen |
Achso, vielen Dank.
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