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Forum "Partielle Differentialgleichungen" - Extrema mit Nebenbedingung
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Extrema mit Nebenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:14 Di 20.09.2011
Autor: Tobbster81

Aufgabe
Mit der Methode von Lagrange soll das Minimum von [mm] f(x,y)=x^2+y^2 [/mm] unter der Nebenbedingung [mm] (x-3)^2 +(y-5)^2 [/mm] =1 gefunden werden.

Lösungsansatz:
1. [mm] (x-3)^2 +(y-5)^2 [/mm] -1=0
2.Hilfskunktion bilden: [mm] x^2+y^2 +\lambda ((x-3)^2+(y-5)^2-1) [/mm]
3.Fx = 0
d.h. [mm] 2x+2\lambda(x-3) [/mm] =0
       [mm] \lambda [/mm] = -(x/(x-3))

ist dieser Ansatz richtig??

Wie muss ich dann weiter vorgehen,wenn ich die weiteren partiellen Ableitungen gemacht habe???

Gruß Tobbster
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:37 Di 20.09.2011
Autor: kamaleonti

Hallo Tobbster81,
     [willkommenmr]!!

> Mit der Methode von Lagrange soll das Minimum von
> [mm]f(x,y)=x^2+y^2[/mm] unter der Nebenbedingung [mm](x-3)^2 +(y-5)^2[/mm] =1
> gefunden werden.
>  Lösungsansatz:
>  1. [mm](x-3)^2 +(y-5)^2[/mm] -1=0
>  2.Hilfskunktion bilden: [mm]x^2+y^2 +\lambda ((x-3)^2+(y-5)^2-1)[/mm]
> 3.Fx = 0
>  d.h. [mm]2x+2\lambda(x-3)[/mm] =0
>         [mm]\lambda[/mm] = -(x/(x-3))
>  
> ist dieser Ansatz richtig??

Fast. In 2. hast du die Nebenbedingung angekoppelt und betrachtest nun in 3. den Gradienten [mm] \nabla F(x,y,\lambda), [/mm] den du Null setzt. Dabei entstehen drei Gleichungen:

(a)       [mm] 2x+2\lambda(x-3)=0 [/mm]
(b)       [mm] 2y+2\lambda(y-5)=0 [/mm]
(c)       [mm] (x-3)^2+(y-5)^2-1=0 [/mm]

Dieses Gleichungssystem musst du nun lösen.

LG

Bezug
                
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:57 Di 20.09.2011
Autor: Tobbster81

Irgendwie fehlt mir die Idee...:-(

Löse man die Gleichungen nicht so auf,wie ich es in Schritt 3. gemacht habe???

Bezug
                        
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:13 Di 20.09.2011
Autor: kamaleonti


> Irgendwie fehlt mir die Idee...:-(
>  
> Löse man die Gleichungen nicht so auf,wie ich es in
> Schritt 3. gemacht habe???

Ja, und weiter?

Es gibt noch weitere Gleichungen zu bearbeiten.

LG


Bezug
                                
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:22 Di 20.09.2011
Autor: Tobbster81

[mm] Fy=2y+2\lambda(y-5)= [/mm] 0

[mm] \lambda [/mm] = -(y/(y-5))

[mm] F\lambda [/mm] = [mm] (x-3)^2+(y-5)^2-1=0 [/mm]
[mm] F\lambda =(x-3)^2 [/mm] = [mm] 1-(y-5)^2 [/mm]

richtig??
Wie muss ich dann vorgehen??

Bezug
                                        
Bezug
Extrema mit Nebenbedingung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:48 Di 20.09.2011
Autor: MathePower

Hallo Tobbster81,

> [mm]Fy=2y+2\lambda(y-5)=[/mm] 0
>  
> [mm]\lambda[/mm] = -(y/(y-5))
>  
> [mm]F\lambda[/mm] = [mm](x-3)^2+(y-5)^2-1=0[/mm]
>  [mm]F\lambda =(x-3)^2[/mm] = [mm]1-(y-5)^2[/mm]
>  
> richtig??
>  Wie muss ich dann vorgehen??


Löse z.B. die Gleichungen

[mm]2x+2\lambda(x-3) =0[/mm]

und

[mm]2y+2\lambda(y-5)=0[/mm]

nach [mm]\lambda[/mm] auf und setze diese [mm]\lambda[/mm]'s gleich.

Dann bekommst Du eine Abhängigkeit y von x.

Setze diese Abhängigkeit in die 3. Gleichung ein
und löse auf nach x.


Gruss
MathePower

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