Extensionsoperator Sobolev-R < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 02:57 Mo 22.06.2009 | | Autor: | mahdi |
| Aufgabe | Sei $D := [mm] \bigcup_{k} I_k \subset \mathbb{R}$ [/mm] mit [mm] $\{I_k\}$ [/mm] paarweise disjunkte offene Intervalle. Angenommen es existiert ein stetiger Extensionoperator $E$ für die Sobolev-Röume
a) $E [mm] \colon L_1^1(D) \to L_1^1(\mathbb{R})$ [/mm] oder
b) $E [mm] \colon L_1^{\infty}(D) \to L_1^{\infty}(\mathbb{R})$
[/mm]
d.h. $E$ ist jeweils stetig und [mm] $E(f)_{|D} [/mm] = f$ für alle $f [mm] \in L_1^1(D)$ [/mm] bzw $f [mm] \in L_1^{\infty}(D)$.
[/mm]
Zeige:
Im Fall a) gilt dann notwendigerweise es gibt ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, sodass Laenge [mm] $I_k \geq \delta$ [/mm] für alle $k$.
Im Fall b) gilt es gibt ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, sodass [mm] $dist(I_j, I_k) \geq \delta$ [/mm] für alle $j [mm] \not= [/mm] k$.
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Dies stammt aus Stein "Singular Integrals and Differentiability Properties of Functions" Beispiel 3 Seite 189.
Dort steht es ist offensichtlich bzw. leicht nachzuprüfen.
Ich habe das jetzt schon länger erfolglos versucht zu beweisen.
Vielleicht kann mir hier jemand auf die Sprünge helfen?
Ich hoffe die Notation ist soweit klar: Statt [mm] $L_k^p$ [/mm] wird für Sobolev-Räume auch häufig die Bezeichnung [mm] $W^{k,p}$ [/mm] verwendet.
Stetigkeit von $E$ bedeutet $E$ ist stetig als Operator auf diesen Banach-Räumen bzw. beschränkt.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:20 Di 07.07.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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