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Exponentielles Wachstum: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Sa 07.03.2020
Autor: Mathepult

Aufgabe
Mona hat auf ihrem Sparkonto bereits 50€ eingezahlt. Sie bekommt nun monatlich 5 % Zinsen.

a) Berechne die Summe des gesparten Geldes für die ersten fünf Monate.

b) Zeichne den dazugehörigen Graphen.


Hallo,

also ich weiß, dass es sich hier um ein exponentielles Wachstum handelt und ich die Funktionsgleichung

[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] = c * [mm] a^{x} [/mm]

verwenden muss. Für c setzte ich 50 ein und für x dann 5 (denn nach 5 Monaten). Aber das mit den Zinsen habe ich leider nicht so gut verstanden. ist mein Wachstumsfaktor hier 0,05 oder 1,05 ? Bitte bitte mit Erklärung, denn ich möchte verstehen warum?



Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.


        
Bezug
Exponentielles Wachstum: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:33 Sa 07.03.2020
Autor: HJKweseleit


> Mona hat auf ihrem Sparkonto bereits 50€ eingezahlt. Sie
> bekommt nun monatlich 5 % Zinsen.
>
> a) Berechne die Summe des gesparten Geldes für die ersten
> fünf Monate.
>
> b) Zeichne den dazugehörigen Graphen.
>  Hallo,
>
> also ich weiß, dass es sich hier um ein exponentielles
> Wachstum handelt und ich die Funktionsgleichung
>
> [mm]\integral_{a}^{b}{f(x) dx}[/mm] = c * [mm]a^{x}[/mm]
>  
> verwenden muss. Für c setzte ich 50 ein  und für x dann 5 [ok]

> (denn nach 5 Monaten). Aber das mit den Zinsen habe ich
> leider nicht so gut verstanden. ist mein Wachstumsfaktor
> hier 0,05 oder 1,05 ? Bitte bitte mit Erklärung, denn ich
> möchte verstehen warum?



a=(1+Zinssatz/100) = 1,05

Start:          Kapital        = 50 €
Nach 1 Monat:   Kapital+Zinsen = 50 € + 50 € * 5/100 = 50 € *(1+5/100) = 50 €*(1,05)
Nach 2 Monaten: Kapital+Zinsen = 50 €*(1,05) + 50 €*(1,05) * 5/100 = 50 €*(1,05) *(1+5/100) = 50 €*(1,05)*(1,05)=50 [mm] €*(1,05)^2 [/mm]
Nach 3 Monaten: Kapital+Zinsen = 50 [mm] €*(1,05)^2 [/mm] + 50 [mm] €*(1,05)^2 [/mm] * 5/100 = 50 [mm] €*(1,05)^2 [/mm] *(1+5/100) = 50 [mm] €*(1,05)^2*(1,05)=50 €*(1,05)^3 [/mm]
...
Nach 5 Monaten: Kapital+Zinsen = ..................................................................... =50 [mm] €*(1,05)^5 [/mm]

Nach jedem Monat wird das bisherige Kapital mit dem Faktor 1,05 multipliziert.


Ungewöhnlich ist eine monatliche Verzinsung. Noch ungewöhnlicher wäre eine Verzinsung, die monatlich 5 % erbrächte (das wären mehr als 60 % pro Jahr: [mm] 1,05^{12}\approx [/mm] 1,796, also knapp 80 % Zinsen). Den Zinssatz gibt's nur bei der Mafia.

Im Normalfall handelt es sich hier nicht um ein exponentielles Wachstum, sondern um folgenden Vorgang:

Pro Jahr brächten die 50 € 5 % Zinsen, das wären 2,50 €. Kündigt Mona nun ihr Konto, erhält sie für die 5 Monate anteilmäßig 5/12 davon, also 1,04 €. Sie hätte dann 51,04 €.

Die Exp.-Funktion beschreibt den Vorgang mit Zinseszinsen. Die Bank schreibt im Normalfall erst nach einem Jahr die Zinsen zum Kapital hinzu (das gäbe hier 52,50 €) und rechnet die Zinsen im nächsten Jahr für 52,50 € aus. Das Rechnen mit der Exp.-Funktion gibt also nur Sinn, wenn zwischendurch die bis dahin angesammelten Zinsen schon hinzugerechnet werden, was normalerweise erst am Ende eines Kalenderjahres geschieht.

Sollte der Zinssatz sich bei monatlicher Verzinsung auf ein Jahr beziehen, so müsstest du statt 1,05 die Zahl (1 + 0,05*5/12)=1,020833333... einsetzen.

Bezug
                
Bezug
Exponentielles Wachstum: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 Sa 07.03.2020
Autor: Mathepult

Vielen Dank für die ausführliche Antwort!

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