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Hallo! Ich möchte einen Sonderfall der Exponentialverteilung behandeln.
X ~ [mm] Exp(\lambda) [/mm] und P(X [mm] \le [/mm] 1) = P(X > 1)
Wie kann ich mir hier ohne eine sonstige Angabe die Varianz ausrechen? Ich weiß, dass var(X) = [mm] \bruch{1}{\lambda^2} [/mm] und P(X > 1) = [mm] e^{-\lambda}.
[/mm]
Wie erhalte ich die Gleichung für P(X [mm] \le [/mm] 1)? Kann ich mir dann die Varianz ausrechnen?
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> Hallo! Ich möchte einen Sonderfall der
> Exponentialverteilung behandeln.
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> X ~ [mm]Exp(\lambda)[/mm] und P(X [mm]\le[/mm] 1) = P(X > 1)
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> Wie kann ich mir hier ohne eine sonstige Angabe die Varianz
> ausrechen? Ich weiß, dass var(X) = [mm]\bruch{1}{\lambda^2}[/mm] und
> P(X > 1) = [mm]e^{-\lambda}.[/mm]
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> Wie erhalte ich die Gleichung für P(X [mm]\le[/mm] 1)?
[mm] $X\le [/mm] 1$ ist das Gegenereignis von $X>1$, also gilt:
[mm]\mathrm{P}(X\le 1)=1-\mathrm{P}(X>1)=1-\mathrm{e}^{-\lambda}[/mm]
>Kann ich mir dann die Varianz ausrechnen?
Ja, denn aus der obigen Voraussetzung, dass [mm] $\mathrm{P}(X\le 1)=\mathrm{P}(X>1)$ [/mm] gilt, folgt [mm] $1-\mathrm{e}^{-\lambda}=\mathrm{e}^{-\lambda}$, [/mm] also [mm] $\mathrm{e}^{-\lambda}=\frac{1}{2}$ [/mm] bzw. [mm] $\lambda [/mm] = [mm] \ln(2)$. [/mm] Einsetzen in [mm] $\mathrm{var}(X)=\frac{1}{\lambda^2}=\ldots$
[/mm]
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