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| Aufgabe | Die Zeit bis zum Zerfall eines radioaktiven Elementes kann als exponentialverteile Zufallsgröße angenommen werden. Mit Hilfe der Halbwertszeit*, welche für dieses radioaktive Element 140 Tage beträgt, bestimme man
a.) den Parameter [mm] \lambda
[/mm]
b.) Die Zeitdauer [mm] t_0
[/mm]
* Unter Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls [mm] \left ( \bruch{1}{2} \right) [/mm] ist
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Hallo,
Ich habe zu beiden Teilaufgaben die Lösungen aus einem Übungsheft.
a.) 0,00495 b.) ca. 605 Tage
Leider habe ich keinen Rechenweg. Bin schon fast am verzweifeln an der Aufgabe.
a.) Ansatz:
über Dichtefunktion für Exponentialverteilung
F(x) = 1 - [mm] e^{- \lambda x}
[/mm]
--> Halbwertszeit = 140 Tage x = [mm] \left( \bruch{1}{2} \right) [/mm]
also: 140 = 1-e^[mm] \left(- \bruch {\lambda}{2} \right) [/mm]
waere der Ansatz erstmal so richtig? wie muss ich dann weiterrechnen?
gibt ja nur 4 Punkte auf die Aufgabe... das kann doch net sooo schwierig sein *grübel*
b.) hier bräuchte ich ja auch [mm] \lambda [/mm] aus a.)
...aber egal wie ichs rechne ich komme immer auf etwas über 200 Tage.
Bin für jede Hilfe dankbar.
MfG Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:20 Mo 12.03.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin Markus,
> Leider habe ich keinen Rechenweg. Bin schon fast am verzweifeln an der Aufgabe.
> a.) Ansatz:
> über Dichtefunktion für Exponentialverteilung
>F(x) = 1 - [mm] e^{- \lambda x}
[/mm]
Das ist die Verteilungsfunktion, und nicht die Dichte!
Ansatz: [mm] $1/2=P(X\le 140)=1-\exp(-140\lambda)$. [/mm] Dabei ist $X$ die Halbwertszeit.
hth
P.S. Bitte verrate uns doch, was [mm] $t_0$ [/mm] ist.
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Die Zeit bis zum Zerfall eines radioaktiven Elementes kann als exponentialverteile Zufallsgröße angenommen werden. Mit Hilfe der Halbwertszeit*, welche für dieses radioaktive Element 140 Tage beträgt, bestimme man
a.) den Parameter $ \lambda $
b.) Die Zeitdauer $ t_0 $, in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 ein Zerfall erfolgt.
* Unter Halbwertszeit versteht man diejenige Zeit, in deren Verlauf die Wahrscheinlichkeit eines Zerfalls $ \left ( \bruch{1}{2} \right) $ ist |
Hallo Luis,
Danke für die schnelle Anwort.
>F(x) = 1 - $ e^{- \lambda x} $
> Das ist die Verteilungsfunktion, und nicht die Dichte!
Da hast du selbstverständlich recht. Sry.
> Ansatz: [mm]1/2=P(X\le 140)=1-\exp(-140\lambda)[/mm]. Dabei ist [mm]X[/mm]
> die Halbwertszeit.
Den Ansatz hatte ich auch schonmal durchgerechnet.
[mm]1/2=1-\exp(-140\lambda)[/mm] |ln
[mm] \ln 1/2= \ln 1+ \lambda \* \ln 140[/mm]
[mm] \lambda = \bruch{\ln \bruch {1}{2}}{\ln 140}[/mm]
[mm] \lambda = 0,1402 [/mm] ...aber Falsch es muss ja 0,00495 rauskommen
> hth
hth?
> P.S. Bitte verrate uns doch, was [mm]t_0[/mm] ist.
Hab ausversehen die Hälfte der Aufgabe b.) weggelassen.
b.) Die Zeitdauer $ [mm] t_0 [/mm] $, in der mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,95 ein Zerfall erfolgt.
MfG Markus
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:14 Mo 12.03.2007 | | Autor: | luis52 |
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> > Ansatz: [mm]1/2=P(X\le 140)=1-\exp(-140\lambda)[/mm]. Dabei ist [mm]X[/mm]
> > die Halbwertszeit.
>
> Den Ansatz hatte ich auch schonmal durchgerechnet.
>
> [mm]1/2=1-\exp(-140\lambda)[/mm] |ln
>
> [mm]\ln 1/2= \ln 1+ \lambda \* \ln 140[/mm]
>
> [mm]\lambda = \bruch{\ln \bruch {1}{2}}{\ln 140}[/mm]
>
> [mm]\lambda = 0,1402[/mm] ...aber Falsch es muss ja 0,00495
> rauskommen
>
Na, das ist ja eine ganz schoen kuehne Rechnung 
[mm] $1/2=1-\exp(-140\lambda)\Leftrightarrow \exp(-140\lambda)=0.5 \Leftrightarrow -140\lambda=\ln(0.5)\Leftrightarrow \lambda=-\ln(0.5)/140=0.00495$.
[/mm]
> > hth
> hth?
Hope this helps
>
> > P.S. Bitte verrate uns doch, was [mm]t_0[/mm] ist.
> Hab ausversehen die Hälfte der Aufgabe b.) weggelassen.
> b.) Die Zeitdauer [mm]t_0 [/mm], in der mit einer Wahrscheinlichkeit
> von 0,95 ein Zerfall erfolgt.
Versuch's jetzt mal selber.
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ups da warst du wohl schneller =)
hab noch probleme mit dem code für die Formeln =/
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ok zu a.) habe ich jetzt die Lösung war ein Schusselfehler
[mm] \bruch {1}{2} = 1-e^{(-140 \lambda)} [/mm] |-1
[mm] - \bruch {1}{2} = -e^{(-140 \lambda)} [/mm] | [mm] \*(-1)
[/mm]
[mm] \bruch {1}{2} = e^{(-140 \lambda)} [/mm] | [mm] \ln
[/mm]
[mm] \ln \bruch {1}{2} = -140 \* \lambda) [/mm] | :(-140)
[mm] \lambda = 4,95\*10^{-3} [/mm] | :(-140)
b.) weiter offen (i keep on tryin ^^ )
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War doch ganz einfach. =)
[mm] 0,95 = 1-e^{x \* 0,00495} |-1 [/mm]
[mm] -0,05 = -e^{x \* 0,00495} |\*(-1) [/mm]
[mm] 0,05 = e^{-(x \* 0,00495)} |\ln [/mm]
[mm] \ln 0,05 = -(x \* 0,00495) | :0,00495 [/mm]
[mm] x = 605 Tage = t_0 [/mm]
Danke nochmal für die schnelle Hilfe...bzw. den Ansatz
Mfg Markus
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