Exponentialrechnung falsch? < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:07 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Muelller |
| Aufgabe 1 | | Was gibt -2 ^ 2.5 |
| Aufgabe 2 | Kurve aus y = -2^(x/10) für x=0 bis x=30
Beide Aufgaben stehen in Zusammenhang, denn die Formel zu Aufg. 1 leitet sich aus der Funktion zu Aufg. 2 ab |
Hallo schönen guten Tag im Forum. Ich habe mich gerade angemeldet, weil ich gestern Abend ein Problem nicht lösen konnte, was mich kaum schlafen lies ^^
Es geht um das hier: Was gibt -2 ^ 2.5
Also minus 2 hoch zweikommafünf
Grundlage:
-2 ^ 2 = 4
-2 ^ 3 = -8
demnach müßte
-2 ^ 2.5
rechnerisch "irgendwo durch die Nulllinie gehen"
Wo klemmt hier mein Mathe Verständnis?
Ergänzung 1
Um die Frage etwas "anfassbarer" zu machen:
Die Aufgabe lautete, eine Kurve aus der Funktion y = -2^(x/10) zu zeichnen, und zwar für alle Werte x=0 bis x=30 (in Einerschritten)
Ergänzung 2
Eine Vergleichsfunktion y = -2 ^ x (für alle Werte x=0 bis x=3; in Einerschritten) funktioniert ja auch einwandfrei
Und ja: Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.cosmiq.de/qa/show/3606097/?withNeutral=0
Allerdings dürfte das für Cosmiq zu speziell sein, so daß ich die Frage hier bei den Profis noch einmal eingestellt habe. Ich hoffe, es spricht nichts dagegen. Meine Mathekenntnisse stammen aus der 10. Kl. Realschule vor ca. 35 Jahen, also nicht steinigen.
Ich würde mich freuen, den Grund zu erfahren, warum die o.g. Formel nicht funktioniert bzw. die Kurve aus y = -2^(x/10) für x=0 bis x=30 offenbar illegal ist, aus der ich diese Formel abgeleitet habe. Insbesondere bin ich am Grund interessiert, warum die Kurve/Formel bei ganzzahligen Exponenten funktioniert (Quelle: Excel, wissenschaftlicher Taschenrechner) und bei Fließkomma-Exponenten nicht.
Danke.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:17 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Edit: Ich habe noch ein paar mal editiert, weil die Formatierungen (z.B. Fettschrift) noch nicht ganz korrekt waren und zwei Rechtschreibfehler behoben. Der Text ist unverändert.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:18 Fr 07.06.2013 | | Autor: | abakus |
> Was gibt -2 ^ 2.5
>
>
Hallo,
wenn deine Schreibweise stimmt, ist das einfach das selbe wie [mm] $-(2^{2.5})$.
[/mm]
Man bildet also [mm] $2^{2.5}$ [/mm] und setzt vor das Ergebnis ein Minuszeichen.
Wenn du allerdings [mm] $(-2)^{2.5}$ [/mm] meinst, so ist das nicht definiert.
Gruß Abakus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:43 Fr 07.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Hallo @abakus
ich muß mich erst an die Schreibweise gewöhnen
Ich rede von [mm] (-2)^{2.5}
[/mm]
Was meinst du mit "nicht definiert" ?
Warum funktioniert dann [mm] (-2)^{2} [/mm] ?
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Hallo,
> Hallo @abakus
>
> ich muß mich erst an die Schreibweise gewöhnen
>
> Ich rede von [mm](-2)^{2.5}[/mm]
>
> Was meinst du mit "nicht definiert" ?
>
> Warum funktioniert dann [mm](-2)^{2}[/mm] ?
>
Zunächst einmal musst du dir klarmachen, was du tust, wenn du eine Potenz mit rationalem Exponenten berechnest. Könntest du die Zahl [mm]2^{2.5}[/mm] selbst von Hand ohne Taschenrechner ausrechnen? Theoretisch funktioniert dies näherungsweise, aber was stellst du dir im Unterschied zu [mm] 2^2 [/mm] unter der Rechnung [mm] 2^{2.5} [/mm] vor?
Die Dinge sind hier nicht so einfach, wie sie auf den ersten Blick erscheinen. Eine Potenz mit natürlichem Exponenten können wir uns anschaulich vorstellen. Aus solchen Potenzen können wir ![[]](/images/popup.gif) Potenzgesetze gewinnen, daraus können wir uns sofort die Bedeutung negativer, aber auch rationaler Exponenten klarmachen.
Betrachten wir etwa
[mm] x^p*x^p=x
[/mm]
dann ist sofort klar, dass
[mm] x^p=\wurzel{x}
[/mm]
und
p+p=1 =>
[mm] x^{\bruch{1}{2}}:=\wurzel{x}
[/mm]
sein sollte. Und damit können wir uns auch allgemeiner klarmachen, dass
[mm] x^{\bruch{p}{q}}=\wurzel[q]{x^p}
[/mm]
ist und damit
[mm] x^{2.5}=x^{\bruch{5}{2}}=\wurzel{x^5}
[/mm]
Nun ist aber [mm] (-2)^5=-32 [/mm] und daher deine obige Potenz nicht definiert, da negative Zahlen innerhalb der reellen Zahlen keine Quadratwuurzel besitzen (weshalb?).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:28 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Hallo,
vielen Dank für die Erörterung.
Ich habe die Lösung noch nicht verinnerlicht. Soll aber jetzt nicht heißen, daß man weiter erörtern muß (wäre natürlich nett). Es scheint mir mehr so zu sein, daß meine Denkweise im vorliegenden Fall nicht mit der mathematischen Denkweise korreliert. Ich habe zwar einem der Mathematik ganz ähnlichen Beruf -ich bin Informatiker- aber die Betonung liegt eindeutig auf "ähnlich".
Ein Beispiel: Der Ausdruck [mm] (-2)^{2} [/mm] wird in meiner Denke als [mm] (-2)^{2.0} [/mm] interpretiert. Zwischen 2.0 und 2.5 ist (außer dem Wert selbst) für mich also absolut kein berücksichtigungsfähiger Unterschied. Ich will jetzt nicht gedanklich erzwingen, daß [mm] (-2)^{2.5} [/mm] "gültig" sein muß, sondern stelle mir im Gegenzug die Frage, ob [mm] (-2)^{2.0} [/mm] (was ja eindeutig 4 ergibt) demnach nicht auch ungültig sein müßte (warum erlaubt die Mathematik ganzzahlige Unterschiede?)
Bevor ich es mir -als Neuling- mit den Mathematikern verderbe, will ich aber lieber ruhig sein. Ich habe nur die Denkweise eines Informatikers dargestellt. Wenn wir Informatiker eine Aufgabe berechnen, müssen die Regeln konsistent sein (alles andere wäre verherrend). Ich kann also keine Unterschiede zwischen 2.5 und 2.0 machen und sagen: das eine ist gültig, das andere nicht. Der Wert 0 ist eine Ausnahme, und ein Vorzeichenwechsel, ok. Aber innerhalb fortlaufender Zahlenreihen kennt die Informatik i.d.R. keine Ausnahmen. Daher frage ich mich wirklich, ob die Potenz-/Exponentialrechnung in der Mathematik ausgegoren ist (es ist mir klar, daß ich jetzt in den Verdacht der Ketzerei gerate).
Ich will auch gleich den Grund nennen: Meiner Ansicht nach (und das ist jetzt bitte nur Spekulation, also bitte nicht steinigen) dürfte ein negatives Vorzeichen auch bei einer Multiplikation auf der einen Seite obsolet sein: Zwischen Multiplikant und Multiplikator sollte klar unterschieden werden (ähnlich wie zwischen Dividend und Divisor klar unterschieden wird), und einem der beiden müßte das neg. Vorzeichen per Regel verboten werden. Dann gäbe es beim Wurzelziehen keine zwei Ergebnisse mehr, und imaginäre Ergebnisse gehörten -vermutlich- der Vergangenheit an. Das ist aber wie gesagt nur die Denkweise eines Informatikers und damit der -zum Scheitern verurteilte- Versuch, die Mathematik in Einklang mit den Regeln von Physik und Realität zu bringen. Allerdings wäre dann vermutlich auch dieses Problem gar nicht aufgetaucht, was ich gerade habe, weil die Illegalität des von mir verwendeten Ausdrucks sofort zu erkennen gewesen wäre. Wenn [mm] (-2)^{2} [/mm] von anfang an ebenso ungültig gewesen wäre wie [mm] (-2)^{2.5}, [/mm] hätte ich es gar nicht erst versucht, aber der Tachenrechner gibt für ersteres den Wert 4 zurück. Das ist der Aufhänger und der Grund meiner Anfrage.
Und danke allen erstmal für die bisherige Hilfe
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Hallo,
nur kurz:
> Wenn wir
> Informatiker eine Aufgabe berechnen, müssen die Regeln
> konsistent sein (alles andere wäre verherrend). Ich kann
> also keine Unterschiede zwischen 2.5 und 2.0 machen und
> sagen: das eine ist gültig, das andere nicht.
In dem Moment, in welchem Du Dich auf auf auf nichtneg. Basen beschränkst, paßt doch alles.
Man könnte ja genauso auch dahergehen und damit hadern, daß ln(2) funktioniert und ln(-2) nicht.
Mal eine Idee: was schlägst Du denn vor, was [mm] (-2)^{2.5} [/mm] sinnvollerweise ergeben sollte?
> Daher frage ich mich wirklich, ob
> die Potenz-/Exponentialrechnung in der Mathematik
> ausgegoren ist (es ist mir klar, daß ich jetzt in den
> Verdacht der Ketzerei gerate).
Ich denke nicht, daß Dich jemand der Ketzerei verdächtigt...
Vielleicht solltest Du Dich, wenn es Dich interessiert, mal ein paar Stündchen mit einem Analysisbuch/-skript aufs Sofa verziehen und studieren, wie die Potenzen nach und nach (ganzzahlig, rational, reell) entwickelt werden.
>
> Zwischen Multiplikant und Multiplikator sollte klar unterschieden werden (ähnlich wie zwischen Dividend und Divisor klar unterschieden wird),
Hm. Es ist aber die Multiplikation kommutativ. Willst Du das ändern?
> Dann gäbe es beim
> Wurzelziehen keine zwei Ergebnisse mehr,
Wenn ich mich beim Wurzelziehen in den reellen Zahlen bewege, gibt es keine zwei Ergebnisse.
[mm] \wurzel{25} [/mm] ist diejenige nichtnegative Zahl, die mit sch selbst multipliziert 25 ergibt. Also [mm] \wurzel{25}=5.
[/mm]
Zwei Ergebnisse gibt es, wenn Du die Lösungen von [mm] x^2=25 [/mm] suchst, nämlich [mm] x=\wurzel{25} [/mm] und [mm] x=-\wurzel{25}.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Hallo @Angela,
danke für die Antwort.
In dem Moment, in welchem Du Dich auf auf auf nichtneg. Basen beschränkst, paßt doch alles.
Das ist ja alles kein Problem, könte ich -praktisch- ja ohne weiteres tun. Was mich aber schier in den Wahnsinn treibt ist, daß neg. Basen -manchmal- erlaubt sind: nämlich bei Integerwerten, also Ganzzahlen. Dabei mußt du verstehen, daß sg. "Ganzzahlen" in der Fließkommaarithmetik der EDV auch Nachkommazahlen sind, wo eben die Nachkommastelle nur den Wert 0 hat.
Mal eine Idee: was schlägst Du denn vor, was sinnvollerweise ergeben sollte?
Ich schlage vor, wenn neg. Basen NICHT ZULÄSSIG sind, daß es bei Ganzzahlen auch nicht möglich sein soll. Einzig sinnvolle Konsequenz (in meinen Augen).
Man könnte ja genauso auch dahergehen und damit hadern, daß ln(2) funktioniert und ln(-2) nicht.
Eben nicht! Wenn ln(-2.0) zulässig wäre, ln(-2.5) aber nicht, DANN müßte man hadern (oder etwa nicht?) Sorry, ich kanns nicht besser beschreiben.
Hm. Es ist aber die Multiplikation kommutativ. Willst Du das ändern?
Es wäre doch mal zu überlegen -nur theoretisch- was dabei herauskäme, wenn man zwischen Multiplikant und Multiplikator unterscheiden würde und einen von den beiden (welchen?) die Erlaubnis, negativ sein zu dürfen, abspricht. Nur mal gedanklich ein (naives, aber einfaches) Beispiel:
Gegeben sind 10 Äpfel. Um auf 0 Äpfel zu kommen, gibt es aktuell 2 Möglichkeiten:
1. Möglichkeit
10 x je einen negativen Apfel "anwenden" (heißt: 10 negative Äpfel zufügen) ==> 10 * -1
2. Möglichkeit
-10 x je einen Apfel "anwenden" (heißt: 10 Äpfel wegnehmen) ==> -10 * 1
Die zweite Variante ist natürlicher, weil es -real- keine negativen Äpfel gibt. Es gibt aber negative Potentialdifferenzen, d.h. das abwandern (wegnehmen) von einem Zustand oder einer Anzahl ist verständlicher (und damit natürlicher) als das Zufügen eines adäquaten "negativen Apfels", um die Menge zu verringern.
Ich fürchte, ich drücke mich unverständlicher aus, als es erforderlich ist, diese meine (nur theoretische) Denkweise zu verdeutlichen. Ich würd aber davon ausgehen, daß es für die Naturwissenschaft grundlegende Vorteile hätte, wenn man das Abstrakte (z.B. Mathematik in einigen Disziplinen) den "realen" Regeln der "greifbaren Naturwissenschaft" annähern würde. Wer kein Mathe Profi ist, oder wem das Verständnis für "imaginär" fehlt (z.B. mir), wird sich immer an "negativen Äpfeln" stoßen, weil das kein Zustand ist, der in der Informatik als Ergebnis (z.B. einer Auswertungssoftware) dem Endanwender zur Verfügung gestellt werden kann. d.h. als finale Mensch-Maschine-Schnittstelle muß man die Präsenz von 10 negativen Äpfeln dahingehend umwandeln, daß man einem anderen einfach 10 (positive) Äpfel schuldet. So, besser kriege ich die Erklärung dafür nicht hin, daß ich vermute, daß Multiplikant und Multiplikator grundlegend unterschiedlich gehandhabt werden -sollten-
Das ist wie gesagt "nur" die Denke eines Informatikers. Ich tue mich unheimlich schwer damit, inkonsistente Zustände in der Anwendungslogik zu verarbeiten. Und die (langjährige) Erfahrung in der Programmierung gibt mir leider recht: Toleranz gegenüber quasi-inkonsistenten Zuständen rächt sich -früher oder später- IMMER!
Wenn ich mich beim Wurzelziehen in den reellen Zahlen bewege, gibt es keine zwei Ergebnisse.
Aber doch. Es geht mir nicht darum, was ICH will, sondern um das Einhalten (und Ausschöpfen) der erlaubten Regeln. Die heutigen Regeln ergeben aus der Wurzel von 25 immer 2 Ergebnisse: Nämlich +5 und -5.
Aber ich will nicht die ganze Mathematik auf den Kopf stellen (das würde mir sowieso nicht gelingen, mit meinem kleinen Schulwissen). Daher danke für den kleinen Ausflug in die philosophische, rein hypothetische was-wäre-wenn-Welt der Mathematik. Wenn du der Denkweise aber etwas abgewinnen kannst -nur dann- kannst du gerne mal darüber nachdenken, was sich ergeben würde, würde man bestimmte Regeln -nur mal gedanklich- umstellen und auf das Hinzufügen von negativen Äpfeln auch in der Mathematik verzichten. Am Ergebnis würde sich nichts ändern, und die Überleitung zur Physik wäre -meiner bescheidenen Ansicht nach- leichter, und diverse Paradoxa würden -möglicherweise- eliminiert. Wenn du Interesse an einem Austausch hast, bist du gerne per PN eingeladen. Ich bin aber auch nicht böse, wenn du das nicht willst.
Viele Grüße
Manfred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:16 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo,
> Aber doch. Es geht mir nicht darum, was ICH will, sondern
> um das Einhalten (und Ausschöpfen) der erlaubten Regeln.
> Die heutigen Regeln ergeben aus der Wurzel von 25 immer 2
> Ergebnisse: Nämlich +5 und -5.
Könntest du vielleicht so nett sein, und eine Quellenangabe machen, wo du diese 'Regel' her hast. Ich habe sie noch nie gesehen, mit Mathematik setze ich mich aber jezt auch schon so gute 30 Jahre auseinander...
Gruß, Diophant
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> Ich schlage vor, wenn neg. Basen NICHT ZULÄSSIG sind, daß
> es bei Ganzzahlen auch nicht möglich sein soll. Einzig
> sinnvolle Konsequenz (in meinen Augen).
Hallo,
ich fände das schade: denn [mm] (-2)^2=(-2)*(-2)=4 [/mm] ist sinnvoll, und daran ändert die Tatsache, daß [mm] (-2)^{2.5} [/mm] nicht sinnvoll ist, nichts.
Ich lasse ja auch nicht mein Zyperngras vertrocknen, bloß weil der Kaktus nur selten Wasser braucht.
>
> Man könnte ja genauso auch dahergehen und damit hadern,
> daß ln(2) funktioniert und ln(-2) nicht.
> Eben nicht! Wenn ln(-2.0) zulässig wäre, ln(-2.5) aber
> nicht, DANN müßte man hadern (oder etwa nicht?)
Es haben halt verschiedene Leute die verschiedensten Probleme...
Warum sollte also nicht ich ein Problem damit haben, daß ln(x) nicht für alle [mm] x\in \IZ [/mm] definiert ist? Als Elemente von [mm] \IZ [/mm] sind 2 und -2 ja ebenso gleichberechtigt wie es 2 und 2.5 als Elemente der rationalen Zahlen sind.
Aber ich würde mich schnell davon überzeugen lassen, daß ln(2) sinnvoll ist, ln(-2) hingegen nicht.
Ich fände das vielleicht schade - aber ln(2) deswegen verbieten zu wollen, wäre doch auch nicht so clever.
> Das ist wie gesagt "nur" die Denke eines Informatikers.
Ich bin mir nicht sicher, daß das, was Du denkst, informatikertypisch ist.
>> Wenn ich mich beim Wurzelziehen in den reellen Zahlen
>> bewege, gibt es keine zwei Ergebnisse.
> Aber doch. Es geht mir nicht darum, was ICH will, sondern
> um das Einhalten (und Ausschöpfen) der erlaubten Regeln.
> Die heutigen Regeln ergeben aus der Wurzel von 25 immer 2
> Ergebnisse: Nämlich +5 und -5.
??? Wo hast Du denn das aufgeschnappt?
Ich sagte doch bereits: [mm] \wurzel{25} [/mm] ist eine abkürzende Schreibweise für "diejenige nichtnegative Zahl, die mit sich selbst multipliziert 25 ergibt."
Das gibt's keinen Spielraum.
Das ist eindeutig.
Und hat doch damit, daß auch [mm] (-5)^2=25 [/mm] ist, gar nichts zu tun.
LG Angela
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Hallo,
> Hallo,
>
> vielen Dank für die Erörterung.
>
> Ich habe die Lösung noch nicht verinnerlicht. Soll aber
> jetzt nicht heißen, daß man weiter erörtern muß (wäre
> natürlich nett). Es scheint mir mehr so zu sein, daß
> meine Denkweise im vorliegenden Fall nicht mit der
> mathematischen Denkweise korreliert. Ich habe zwar einem
> der Mathematik ganz ähnlichen Beruf -ich bin Informatiker-
> aber die Betonung liegt eindeutig auf "ähnlich".
Und ich dachte immer, Informatiker seien Mathematiker mit einem Spezialgebiet. 
>
> Ein Beispiel: Der Ausdruck [mm](-2)^{2}[/mm] wird in meiner Denke
> als [mm](-2)^{2.0}[/mm] interpretiert.
Wo ist der Unterschied?
> Zwischen 2.0 und 2.5 ist
> (außer dem Wert selbst) für mich also absolut kein
> berücksichtigungsfähiger Unterschied.
2 ist eine natürliche Zahl, 2,5 ist dies nicht, sondern 2,5 ist rational. Und was das für einen Unterschied macht, habe ich versucht, dir aufzuzeigen. Du hast das offenichtlich nicht nachvollziehen können:
Die Rechnnung [mm] x^2 [/mm] kann man ganz anschaulich und praktisch durchführen als x*x, also indem man x mit sich selbst multipliziert bzw. die Potenz ist ein Produkt aus zweimal x.
Und jetzt kommst du: wie sieht ein Produkt aus 2.5-mal der Variablen x aus? Na, immer noch kein gedanklicher Unterschied?
> Ich will jetzt
> nicht gedanklich erzwingen, daß [mm](-2)^{2.5}[/mm] "gültig" sein
> muß, sondern stelle mir im Gegenzug die Frage, ob
> [mm](-2)^{2.0}[/mm] (was ja eindeutig 4 ergibt) demnach nicht auch
> ungültig sein müßte (warum erlaubt die Mathematik
> [color=red]ganzzahlige Unterschiede?)[/color]
Die Frage verstehe ich nicht wirklich. Was meinst du mit 'ganzzahlige Unterschiede? Kennst du die Regel 'Minus mal Minus=Plus'? Erkläre mir mal vor dem Hintergrund, wie du dir eine reelle Quadratwurzel einer negativen Zahl vorstellst. Hast du eine Art drittes Vorzeichen erfunden?
>
> Bevor ich es mir -als Neuling- mit den Mathematikern
> verderbe, will ich aber lieber ruhig sein. Ich habe nur die
> Denkweise eines Informatikers dargestellt.
Da tust du deinem Berufsstand Unrecht: das hat mit INformatik alles nichts zu tun, sondern es ist - sorry - schlichtweg Unwissenheit (aber dem kann man abhelfen).
> Wenn wir
> Informatiker eine Aufgabe berechnen, müssen die Regeln
> konsistent sein (alles andere wäre verherrend). Ich kann
> also keine Unterschiede zwischen 2.5 und 2.0 machen und
> sagen: das eine ist gültig, das andere nicht.
Wenn du wirklich gründlich nachgedacht hättest, wäre dir aufgefallen, dass deine 'Regeln' nicht konsistent sind, denn du führst die Potrenzgesetze ad absurdum.
> Der Wert 0
> ist eine Ausnahme, und ein Vorzeichenwechsel, ok. Aber
> innerhalb fortlaufender Zahlenreihen kennt die Informatik
> i.d.R. keine Ausnahmen. Daher frage ich mich wirklich, ob
> die Potenz-/Exponentialrechnung in der Mathematik
> ausgegoren ist (es ist mir klar, daß ich jetzt in den
> Verdacht der Ketzerei gerate).
>
> Ich will auch gleich den Grund nennen: Meiner Ansicht nach
> (und das ist jetzt bitte nur Spekulation, also bitte nicht
> steinigen) dürfte ein negatives Vorzeichen auch bei einer
> Multiplikation auf der einen Seite obsolet sein: Zwischen
> Multiplikant und Multiplikator sollte klar unterschieden
> werden (ähnlich wie zwischen Dividend und Divisor klar
> unterschieden wird), und einem der beiden müßte das neg.
> Vorzeichen per Regel verboten werden. Dann gäbe es beim
> Wurzelziehen keine zwei Ergebnisse mehr, und imaginäre
> Ergebnisse gehörten -vermutlich- der Vergangenheit an. Das
> ist aber wie gesagt nur die Denkweise eines Informatikers
> und damit der -zum Scheitern verurteilte- Versuch, die
> Mathematik in Einklang mit den Regeln von Physik und
> Realität zu bringen. Allerdings wäre dann vermutlich auch
> dieses Problem gar nicht aufgetaucht, was ich gerade habe,
> weil die Illegalität des von mir verwendeten Ausdrucks
> sofort zu erkennen gewesen wäre. Wenn [mm](-2)^{2}[/mm] von anfang
> an ebenso ungültig gewesen wäre wie [mm](-2)^{2.5},[/mm] hätte
> ich es gar nicht erst versucht, aber der Tachenrechner gibt
> für ersteres den Wert 4 zurück. Das ist der Aufhänger
> und der Grund meiner Anfrage.
Sorry, aber gegen Ende wird mir das jetzt zu esoterisch, da bin ich jetzt ausgestiegen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:41 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Hallo @Diophant,
hui, jetzt komme ich aber mit meinem Zeitbudget in die Bredouille. Ich dachte verstanden zu haben, daß immer nur einer die Frage reserviert, und dann antwortet. Das Versionsmanagement mit Sperre der beantworteten Frag finde ich übrigens hochgradig klasse. In Foren ist mir das, was ich nur beruflich kenne, so noch nie untergekommen.
Und ich dachte immer, Informatiker seien Mathematiker mit einem Spezialgebiet.
Never. Kaum ein Informatiker versteht einen Mathematiker richtig. Wie oft der Abteilungsleiter (Mathematiker) bei den Kollegen oder mir saß mit seinem "Sie müssen doch nur" ... weiß ich nicht, aber da gab es nichts, was man "...nur hätte müssen...". Soweit der Unterschied zwischen Mathematik und EDV (obwohl letzteres die Abk. für "Ende der Vernunft" ist).
2 ist eine natürliche Zahl, 2,5 ist dies nicht, sondern 2,5 ist rational. Und was das für einen Unterschied macht, habe ich versucht, dir aufzuzeigen. Du hast das offenichtlich nicht nachvollziehen können:
Nein. In der Informatik gibt es (außer dem Wert) keinen Unterschied zwischen 2.0 und 2.5. Denn ich muß vorher definieren, ob ich REAL (Fließkomma) oder INTEGER (Ganzzahl) wähle. Je nachdem wird 2 zu 2.0 (real) oder 2.5 ==> 3 (integer). Demnach sind auch die Regeln so, daß der Wert 2.0 adäquat zu 2.5 verrechnet wird. Jeder Unterschied auf Höhe der Werte wäre illegal. Daher gehe ich natürlich davon aus, daß auch die Mathematik nicht bei jedem Wert eine "wenn-dann" Konditionierung ausführt. Obbenbar eine Fehlannahme meinerseits.
Die Frage verstehe ich nicht wirklich. Was meinst du mit 'ganzzahlige Unterschiede?
Falsch ausgedrückt. Ich meinte den Unterschied zwischen Ganzzahl und Fließkommazahl
Kennst du die Regel 'Minus mal Minus=Plus'? Erkläre mir mal vor dem Hintergrund, wie du dir eine reelle Quadratwurzel einer negativen Zahl vorstellst. Hast du eine Art drittes Vorzeichen erfunden?
Gar nicht. Das ist und bleibt ein unerlaubter Zustand. 'Minus mal Minus=Plus' -MÜSSTE- meiner (theoretischen) Ideologie nach ebenfalls illegal sein (aber das ist nur eine Hypothese, die du am besten ganz schnell wieder vergisst, weil uns das nicht weiter bringt und ich will die Regeln nicht auf den Kopf stellen)
Da tust du deinem Berufsstand Unrecht: das hat mit INformatik alles nichts zu tun, sondern es ist - sorry - schlichtweg Unwissenheit (aber dem kann man abhelfen).
Ja ja, das weiß ich ja alles, und habe das auch schon mit dem Holzhammer eingetrichtert kriegt (auch von Kollegen) . Nichtsdestotrotz bin ich immer auf der Konsistenzsuche. Es ist nicht auszuschließen, daß ich in einer Sackgasse lande. Die Katastrophe entsteht erst, wenn man in der Sackgasse weiterzufahren versucht. Die -möglicherweise verquere- Denkweise hat mir aber bisher entscheidend mehr Vor- als Nachteile geboten. Das liegt auch daran, daß ich zwar nicht alles, aber einiges doch in Frage stelle, was an Regeln "vorgegeben" ist (eben wie ein Ketzer). Das hat einige Dinge schon ermöglicht, die unter Enhaltung der Regeln nicht möglich waren. Beispielsweise (nur ein Beispiel) ergaben sich vor Jahren negative Zinsen (!!!) bei einigen Sparbüchern. Ich habe Alarm gedrückt, doch die Algorhitmen der Bank waren -angeblich- richtig. Auch ich habe -mathematisch- keinen Anhaltspunkt gefunden. Daß man Sparern das Guthaben reduziert, ohne einen Skandal zu verursachen, sollte aber auf der Hand liegen. Ich habe damals angedroht, daß ich meine Arbeit niederlege, wenn der Murks in den Formeln nicht behoben wird, denn an sochen "Ergebnissen" wird mein Name nicht beteiligt sein. Soviel nur zu Thema "Unwissen". Bitte keine Schnellschüsse dieser Art. Ich kenne mich mathematisch vlt. nicht so gut aus, aber ich habe ein tiefes Gespür für Logik und Konsistenz.
Wenn du wirklich gründlich nachgedacht hättest
Glaube mir, ich habe gründlich nachgedacht.
Sorry, aber gegen Ende wird mir das jetzt zu esoterisch, da bin ich jetzt ausgestiegen.
Logig hat mit Esoterik nicht zu tun. Aber das Wort Hypothetisch müßte dir ein Begriff sein. Ohne Hypothese (und Spekulation) keine Mathematik. Die heutigen Regeln sind nicht vom Himmel gefallen, sondern wurden von Menschen erstellt, die gründlich nachgedacht hatten. Diejenigen, die sich -lediglich- an die Regeln halten, und Variablen durch Werte ersetzen, sind i.d.R. nicht dieselben, die die Regeln erstellt haben und sollten daher Abweichungen vom Weg nicht "einfach so" diskreditieren.
Viel Grüße
Manfred
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Sa 08.06.2013 | | Autor: | fred97 |
Es wurde ja schon gesagt, dass
$ [mm] x^{2.5}=\wurzel{x^5} [/mm] $
ist. Nun nehmen wir mal an, dass für ein x<0 die Zahl [mm] a:=\wurzel{x^5} [/mm] eine wohldef. Zahl wäre.
Dann hätten wir [mm] a^2=x^5. [/mm] Da x<0 ist, ist auch [mm] x^5<0. [/mm] Es ist aber [mm] a^2 \ge [/mm] 0.
Das stinkt !
Bei Dir ist x=-2. Das ergibt den Gestank:
[mm] a^2=-32.
[/mm]
FRED
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> Hallo,
>
> vielen Dank für die Erörterung.
>
> Ich habe die Lösung noch nicht verinnerlicht. Soll aber
> jetzt nicht heißen, daß man weiter erörtern muß (wäre
> natürlich nett). Es scheint mir mehr so zu sein, daß
> meine Denkweise im vorliegenden Fall nicht mit der
> mathematischen Denkweise korreliert. Ich habe zwar einem
> der Mathematik ganz ähnlichen Beruf -ich bin Informatiker-
> aber die Betonung liegt eindeutig auf "ähnlich".
Hm, für mich gehört zum Beruf des Informatikers auch das Studium der Informatik, zu dem so viel Mathematik gehört, dass man an dieser Stelle eigentlich keine solchen Zweifel haben dürfte. Also vermute ich mal, dass eine solche Ausbildung nicht stattgefunden hat.
>
> Ein Beispiel: Der Ausdruck [mm](-2)^{2}[/mm] wird in meiner Denke
> als [mm](-2)^{2.0}[/mm] interpretiert.
Das ist etwas überraschend - gerade für einen Informatiker, der eigentlich viel mehr als andere Menschen zwischen Gleitkomma- und Ganzzahlen unterscheiden müsste.
Abgesehen davon macht auch die Mathematik diesen Unterschied: Die Zahl 2 hat "völlig" andere Eigenschaften als die Zahl 2.0. Diese Unterschiede spiegeln sich beim Eintippen der Zahlen in einen Taschenrechner nicht wider, aber ein TR ist nicht zum Mathematik-Treiben gemacht, sondern als Rechenknecht.
Ein bisschen ausführlicher (ohne es bis ins Kleinste zu erklären): Die Mathematik kennt Strukturen, d.h. z.B. Zahlenmengen mit Verknüpfungen. Innerhalb solcher Strukturen werden Regeln entdeckt und mit denen wird gearbeitet. Der einfache Weg startet bei den natürlichen Zahlen, irgendwann mit den beiden Verknüpfungen + und [mm] $\*$, [/mm] die bestimmten Regeln genügen. Dort z.B. gibt es weder die 2.0 noch die 2.5.
Wenn man jetzt mit dieser Struktur arbeitet (z.B. innerhalb einer Software), stellt man fest, dass man auch ganz gerne die Umkehrungen machen möchte, z.B. weil man das Problem $x + 3 = 5$ lösen möchte. So entsteht dann die Subtraktion, aber die kann ich nicht allgemein auf [mm] $\IN$ [/mm] anwenden, denn die Rechnung 3 - 5 liefert NICHTS, was in den natürlichen Zahlen liegt.
Jetzt muss man sich Gedanken darüber machen, was das wohl sein könne, so dass es die bereits vorhandenen Erkenntnisse nicht ad absurdum führt.
Heute sind für uns negative Zahlen natürlich kein Problem, wir haben ein Gefühl dafür, was -89 EUR auf dem Kontoauszug bedeuten oder -3°C mitten im Mai. Aber alleine mit den natürlichen Zahlen wird das nie funktionieren.
Wenn du also in einem Programm festlegst, dass deine Variable "temperatur" nur integer-Werte von 0 bis 255 annehmen darf und du rechnest dann temperatur = 20 - 30, dann wird (je nach Programmierumgebung natürlich) dein Programm das verweigern.
Das kann man nun einige Schritte fortsetzen und ähnliche Probleme für die Division und die Potenzen feststellen. So viel mal zu den Grundlagen... wie Vorschreiber das bereits erwähnten, müsstest du dafür mal ein paar Tage für Analysis und Algebra investieren, das ist also nicht in ein paar Zeilen erschöpfend erklärt.
> Zwischen 2.0 und 2.5 ist
> (außer dem Wert selbst) für mich also absolut kein
> berücksichtigungsfähiger Unterschied. Ich will jetzt
> nicht gedanklich erzwingen, daß [mm](-2)^{2.5}[/mm] "gültig" sein
> muß, sondern stelle mir im Gegenzug die Frage, ob
> [mm](-2)^{2.0}[/mm] (was ja eindeutig 4 ergibt) demnach nicht auch
> ungültig sein müßte (warum erlaubt die Mathematik
> ganzzahlige Unterschiede?)
>
Der Mathematik geht es nicht um die Unterschiede, sondern um den Exponenten, der oben steht. Dass du auf dieses Problem stößt, weil du eine Folge von Werten berechnen willst in äquidistanten nicht-ganzzahligen Abständen hat mit dem eigentlichen Problem nichts zu tun.
Z.B. bei den Werten [mm] $\bruch{3}{i} [/mm] $ für $i = -10 ... 10$ ist das Problem ja nicht, dass ich ganzzahlige Schritte mache, sondern dass es einen Wert für i gibt, mit dem ich den Ausdruck nicht auswerten kann.
Das ist übrigens auch ein Beispiel, das du gerne programmieren kannst und die Informatik würde diesen nicht berechenbaren Ausdruck sehr wohl von den anderen unterscheiden...
> Bevor ich es mir -als Neuling- mit den Mathematikern
> verderbe, will ich aber lieber ruhig sein. Ich habe nur die
> Denkweise eines Informatikers dargestellt. Wenn wir
> Informatiker eine Aufgabe berechnen, müssen die Regeln
> konsistent sein (alles andere wäre verherrend). Ich kann
> also keine Unterschiede zwischen 2.5 und 2.0 machen und
> sagen: das eine ist gültig, das andere nicht. Der Wert 0
> ist eine Ausnahme, und ein Vorzeichenwechsel, ok. Aber
> innerhalb fortlaufender Zahlenreihen kennt die Informatik
> i.d.R. keine Ausnahmen. Daher frage ich mich wirklich, ob
> die Potenz-/Exponentialrechnung in der Mathematik
> ausgegoren ist (es ist mir klar, daß ich jetzt in den
> Verdacht der Ketzerei gerate).
Die Potenzrechnung macht durchaus Sinn, wie dir ein Beispiel schon gezeigt hat.
Ich kürze es mal ab:
1. Eigentlich ist eine Potenz nur eine faule Abkürzung für eine vielfache Multiplikation von immer wieder der gleichen Zahl [damit ist auch der unten stehende Vorschlag von einer Unterscheidung der Faktoren bei einer Multiplikation absurd - wenn man das unterscheidet, gibt es keine Potenzen mehr, weil man dann nicht mehr vertauschen düfte, aber die Kommutativität der Multiplikation auf den reellen Zahlen ist eine ziemlich stabile Feststellung].
Also statt $a*a*a*a*a$ schreiben zu müssen, kann ich abkürzen zu [mm] $a^5$.
[/mm]
Mehr ist das nicht.
2. Jetzt kann man sich Rechenregeln (auf einfachste Art) überlegen, z.B. so was wie [mm] $a^{r+s} [/mm] = [mm] a^r [/mm] * [mm] a^s$, [/mm] indem man diese abkürzende Schreibweise auflöst in das lange Produkt und zählt. Ziemlich einfach, das kann man auf alle Fälle in Klasse 5 machen.
3. Jetzt strebt man natürlich nach mehr, denn bisher sind die Exponenten nur natürliche Zahlen (für Informatiker: positive Integer-Werte). Also kann man sich überlegen, ob man nicht z.B. mal negative Exponenten anschaut. Aber mal ehrlich, was soll [mm] $3^{-4}$ [/mm] denn für einen Sinn machen????
Also geht die (Schul-)Mathematik jetzt hin und sagt sich, dass die für die natürlichen Exponenten gefundenen Regeln doch immer noch gelten müssen, um Konsistenz zu haben (wegen der Einschachtelung [mm] $\IN \subset \IZ \subset \IQ \subset \IR \subset \IC$).
[/mm]
Damit lässt sich eine wunderbare Bedeutung für negative Exponenten (immer noch ganzzahlig, informatisch also immer noch Integer-Werte) finden: [mm] $3^{-4}$ [/mm] soll einfach eine Schreibweise für [mm] $\bruch{1}{3^4}$ [/mm] sein. Das passt perfekt und der Exponent ist hier wieder eine natürliche Zahl.
Klar, dann will man Brüche im Exponenten haben - das erkläre ich jetzt nicht mehr (weil du dazu vermutlich auch noch einen Basiskurs über Wurzeln brauchen könntest, ist letztlich aber eine ähnliche Überlegung), man kommt dann eben dazu, dass [mm] $3^{\bruch{2}{5}} [/mm] = [mm] \wurzel[5]{3^2}$ [/mm] sein soll.
Der letzte Schritt wäre dann eine reelle Zahl im Exponenten. Da ja die rationalen alle schon eine Bedeutung haben, sind nur noch die jetzt zusätzlich dazu gekommenen Zahlen interessant, also z.B. [mm] $3^{\wurzel{7}}$. [/mm] Das wird dann genauso behandelt wie auch die [mm] $\wurzel{7}$ [/mm] selbst - wir können die Zahl nicht genau in Dezimalschreibweise angeben, nur eine rationale Näherung. Und das machen wir dann im Exponenten auch so, d.h. dann steht dort wieder eine rationale Zahl und die Bedeutung kennen wir.
Fazit bis hierher: Es ist weder mathematisch noch informatisch dasselbe, ob du 2 oder 2.0 schreibst.
Was noch fehlt, ist das mit der negativen Basis....
>
> Ich will auch gleich den Grund nennen: Meiner Ansicht nach
> (und das ist jetzt bitte nur Spekulation, also bitte nicht
> steinigen) dürfte ein negatives Vorzeichen auch bei einer
> Multiplikation auf der einen Seite obsolet sein: Zwischen
> Multiplikant und Multiplikator sollte klar unterschieden
> werden (ähnlich wie zwischen Dividend und Divisor klar
> unterschieden wird), und einem der beiden müßte das neg.
> Vorzeichen per Regel verboten werden. Dann gäbe es beim
> Wurzelziehen keine zwei Ergebnisse mehr, und imaginäre
> Ergebnisse gehörten -vermutlich- der Vergangenheit an. Das
> ist aber wie gesagt nur die Denkweise eines Informatikers
> und damit der -zum Scheitern verurteilte- Versuch, die
> Mathematik in Einklang mit den Regeln von Physik und
> Realität zu bringen. Allerdings wäre dann vermutlich auch
> dieses Problem gar nicht aufgetaucht, was ich gerade habe,
> weil die Illegalität des von mir verwendeten Ausdrucks
> sofort zu erkennen gewesen wäre. Wenn [mm](-2)^{2}[/mm] von anfang
> an ebenso ungültig gewesen wäre wie [mm](-2)^{2.5},[/mm] hätte
> ich es gar nicht erst versucht, aber der Tachenrechner gibt
> für ersteres den Wert 4 zurück. Das ist der Aufhänger
> und der Grund meiner Anfrage.
Ich weiß nicht, wo du die Mängel der Mathematik im Hinblick auf "Realität" (das ist schwieriges Wort) oder Physik siehst - die gibt es nicht, es grenzt an ein Wunder, dass die Mathematik, die auf so wenigen Annahmen beruht eine so exzellente Beschreibung der Natur liefert!!!
Jetzt noch zur negativen Basis:
Gehen wir wieder an den Anfang zurück, wo die Potenz nur die Abkürzung für die vielfache Multiplikation ist, dann stellt das kein Problem dar, sprich für ganzzahlige Exponenten.
Sobald aber die Wurzeln mit ins Spiel kommen, gibt es die bereits beschriebenen Probleme (auf die ich nicht nochmal eingehe).
Deinen Multiplikationsvorschlag verstehe ich wohl nicht. Soll das bedeuten, dass ich $2 * (-2)$ von $ (-2) * 2$ unterscheide und dabei festlege, dass ich eins von beiden verbiete?
Und was ist dann das Ergebnis der erlaubten Rechnung? 4? Damit ich dann eine Wurzel ziehen kann [dass beim Wurzelziehen immer eine eindeutige Zahl herauskommt, wurde schon gesagt] und dabei keine komplexen Zahlen erhalte?
Und zur Rettung der Eindeutigkeit lege ich dann fest, dass es bei [mm] $x^2=4$ [/mm] nur eine Lösung geben darf, weil ich die Multiplikation $(-2) * (-2)$ verbiete?
Das alles steht (wie du selbst ja schon vermutest) nicht im Einklang mit der von mir zu Beginn geäußerten Grundlage: Wir arbeiten auf einer mathematischen Struktur mit Zahlen und Verknüpfungen zwischen diesen Zahlen.
Und nochmal zum TR: Der TR soll rechnen. Dazu hat ihn ein Informatiker programmiert, um z.B. auch Näherungswerte für Wurzeln u.ä. auszuspucken. Jeder TR kann also genau das, was der Programmierer ihm mitgegeben hat. Du kannst ja mal [mm] $10^{100}\cdot10^{100}$ [/mm] eingeben. Glaubst du dann auch, dass es diese Zahl nicht gibt?
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> Und danke allen erstmal für die bisherige Hilfe
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Ich hoffe, die grundlegenden Ergänzungen zu den bisher von anderen genannten Argumenten und Verdeutlichungen helfen ein bisschen, das mathematische Verständnis zu vergrößern.
lg weightgainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:03 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Muelller |
Hallo @weightgainer und die anderen,
ich fasse mich jetzt mal ganz kurz, denn ich muß leider weg
Hm, für mich gehört zum Beruf des Informatikers auch das Studium der Informatik, zu dem so viel Mathematik gehört, dass man an dieser Stelle eigentlich keine solchen Zweifel haben dürfte. Also vermute ich mal, dass eine solche Ausbildung nicht stattgefunden hat.
Ich hatte es doch geschrieben, daß ich Realschule hatte (Kl. 10), daher kein Studium und auch keine "übliche Ausbildung". Das erschwert mir einige Dinge, macht es aber auf der anderen Seite einfacher, mit der EDV umzugehen, weil ich in der Praxis groß geworden bin (originär Handwerksberuf, Meister, Techniker usw., dann erst EDV). Ich kenne nur wenige Kollegen, die wirklich praxisorientiert programmieren und den Anwender richtig verstehen (der vlt. auch nicht studiert hat).
EDIT (Nachtrag). Ich arbeite natürlich freiberuflich, weil mir kein Konzern in Deutschland ohne Studium eine Festanstellung anbieten würde. Ist aber in Ordnung so :)
Ich bin eben in manchen Dingen auf Feedbacks angewießen, wie z.b. hier und jetzt (und sage danke für alle Antw.) . Allerdings ist das hier geschilderte Problem kein berufliches, sondern eine rein private Gedankenkonstruktion. Es würde nämlich auch kein Projektleiter auf die Idee kommen, ganzzahlige Exponenten negativer Basen berechnet zu haben wollen. Das weitere, die praktische Umsetzung der EDV-Aufgaben wird durch mein "nur Schulwissen" nicht erschwert, da ich i.d.R. nicht eher ruhe geben, bis ich eine Sache 100% verstanden habe (so wie hier+jetzt). Das sichert mir ein "handliches" Wissen, was gegenüber etwaigen -theoretischen- Defiziten sehr wohl bestehen kann, sofern man den Wissenstransfer (vom Bekannten zum Unbekannten schließen) einigermaßen beherscht. Ein prakt. Beispiel nur: Ich habe 5 J. die Deckungsbeitragsrechnung ein Landesbank nicht nur konfiguriert, sondern die Module entwickelt und programmiert; in einer 7-dimensionalen (Cubes) Datenbank (der größten TSQL-Server der Bank übrigens). Daher bitte keine Schnellschüsse "nicht gründlich überlegt" und so. Wenn ich eins tue, dann gründlich zu überlegen. Manchmal zu gründlich, so daß meine Überlegungen an der Realität abprallen.
So, ich muß weg.
Viele Grüße
Manfred
und danke für die Antworten, und die (vielleicht) noch kommen. Alle werde ich nicht beantworten können, aber ich lese es mir durch.
Danke :)
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