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Exponentialgleichungen: Korrektur
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:23 Mi 15.12.2010
Autor: jolly241

Aufgabe
Manche Exponentialgleichungen lassen sich auch ohne Logarithmen lösen.
[mm] a)3*4^{x+1} [/mm] = [mm] 2^{x-1} [/mm]

Ich habe dann als Lösunsansatz, dass man bei gleicher basis nur den Exponenten schrieben muss. Man hätte also:
[mm] 3*2^{2x+1} [/mm] = [mm] 2^{x-1} [/mm]
meine Frage dabei ist obe man jetzt daraus
3*2x+1 = x-1
folgern kann oder ob man die 3 auch noch auf die Basis 2 bringen muss um die gesamten Baden nicht mehr zu haben.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
        
Bezug
Exponentialgleichungen: Korrektur
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:26 Mi 15.12.2010
Autor: Loddar

Hallo jolly,


[willkommenmr] !!


> [mm]a)3*4^{x+1}[/mm] = [mm]2^{x-1}[/mm]
>  Ich habe dann als Lösunsansatz, dass man bei gleicher
> basis nur den Exponenten schrieben muss. Man hätte also:
>  [mm]3*2^{2x+1}[/mm] = [mm]2^{x-1}[/mm]

Gute Idee, jedoch falsch ausgeführt. Es gilt:

[mm] $4^{x+1} [/mm] \ = \ [mm] \left(2^2^\right)^{x+1} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2*(x+1)} [/mm] \ = \ [mm] 2^{2x+\red{2}}$ [/mm]


>  meine Frage dabei ist obe man jetzt daraus 3*2x+1 = x-1
>  folgern kann

[notok] Nein!


> oder ob man die 3 auch noch auf die Basis 2
> bringen muss um die gesamten Baden nicht mehr zu haben.

Auch nicht. Teile die obige Gleichung durch [mm] $2^{2x+2}$ [/mm] .


Gruß
Loddar

Bezug
        
Bezug
Exponentialgleichungen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:00 Mi 15.12.2010
Autor: Sax

Hi,

> Manche Exponentialgleichungen lassen sich auch ohne Logarithmen lösen.

Die Betonung liegt auf "manche".
Diese Exponentialgleichung gehört leider nicht dazu, und deshalb wirst du irgendwann logarithmieren müssen.

Aus diesem Grunde ist es egal, ob du

- deinen Weg einschlägst und 3 als Potenz von 2 schreibst :
  3 = [mm] 2^y \gdw [/mm]  log 3  = y * log 2  [mm] \gdw [/mm]  y = [mm] \bruch{log 3}{log 2} [/mm]
  und daraus nach [mm] 2^{\bruch{log 3}{log 2}}*2^{2x+2} [/mm] = [mm] 2^{x-1} [/mm] folgerst dass
  [mm] \bruch{log 3}{log 2} [/mm] + 2x+2  =  x-1  ist

- oder Loddars Weg verfolgst

- oder gleich logarithmierst und log 3 + (x+1)*log 4  =  (x-1)*log 2  erhälst.

Das Ergebnis wird immer dasselbe sein.

Gruß Sax.

Bezug
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