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Kennt jemand einen analytischen Weg, Gleichungen der Form
[mm] e^x+ax²+bx+c=0
[/mm]
zu Bestimmen.
Konkret geht es um die Schnittpunkte der [mm] e^x [/mm] mit einer Geraden bzw Parabel (um die Fläche zu bestimmen), also um die Lösung der Gleichungen
3/2 [mm] e^x= [/mm] 1/3 x + 4 bzw. -1/2 [mm] e^x [/mm] = x² - 2x - 4
Wir daben die Lösungen numerisch ermittelt - was natürlich unschön ist :-(
Wenn man logarithmiert bekommt man aber den Logarithmus einer Summe, was nicht wesentlich weiterhilft.
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Hallo matheversum,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Meines Erachtens ist diese Typ Gleichung lediglich numerisch zu lösen (es sei denn, es ergeben sich Sonderfälle durch spezielle Koeffizienten a, b und c ).
Gruß vom
Roadrunner
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Wenn es jemanden interessiert, ich habe nochmal ausgiebig mein MuPad befragt und herausgefunden, dass die Lösung zumindest der ersten Gleichung zwar nicht elementar aber durch die Lambertsche W-Funktion ausgedrückt werden kann.
Diese Funktion ist als Umkehrung der Funktion [mm] x->x*e^x [/mm] definiert.
Damit ist die Löung der ersten Aufgabe dann sowas wie
-lambertW(0,-9*E^(-12)/2)-12 und -lambertW(-1,-9*E^(-12)/2)-12
Setzt man das allerdings als Integrationsgrenzen (die beiden Seiten der Gleichung sind die Randkurven des Integrals) ein, kommt ein noch "schlimmerer" Ausdruck heraus, den MuPAD auch nicht vereinfacht; aber der numerische Wert stimmt wieder (ungefähr eben)
Was aber alles nicht der normale Abiturstoff ist
Danke auch an Roadrunner für die Bestätigung meiner Befürchtung und allen für die Bemühung
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