Exponentialfunktionsuntersuchu < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Blume123 |
Hallo!
Ich habe folgendes Problem und zwar bin ich mir im Moment ziemlich unsicher, wie ich eine Funktionsuntersuchung zu einer Exponentialfunktion mache... Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Hier zwei Aufgaben, die ich gerne verstehen würde!
1. [mm] f(x)=2x-e^x
[/mm]
2. [mm] f(x)=5x*e^x
[/mm]
Wäre echt klasse, wenn mir jemand helfen könnte!!!
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Blume123 |
Hallo!
Ja soweit weiß ich schon, dass das eigentlich ganz normal funktioniert, aber ich weiß ehrlich gesagt nicht, wie ich mit dem e umgehen soll... zum beispiel beim auflösen... daher wäre es echt klasse, wenn du mir das mal vorrechnen würdest...
LG
|
|
|
| |
|
Hallo,
allgemein zur e - Funktion gilt:
[mm] e^x \not= [/mm] 0 für alle x
[mm] e^x [/mm] > 0 für alle x
$f(x) = [mm] e^x [/mm] $
$f'(x) = [mm] e^x$
[/mm]
vielleicht reicht das erstmal zum Anfangen, dann kannst du dich
einfach melden wo genau du hängen geblieben bist.
Gruß
marthasmith
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:12 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Blume!
Oliver hat weiter unten bereits mit der 1. Aufgabe begonnen und Dir z.B. die Nullstelle(n) der 1. Ableitung gezeigt.
Für die Nullstellen der Ausgangsfunktion gibt es keine explizite Formel.
Aber einen kleinen Tipp kann ich Dir geben.
Wenn Du zeigst, daß Deine Funktion $f(x) = 2x - [mm] e^x$ [/mm] nur ein Maximum hat, das unterhalb der x-Achse liegt, hast Du indirekt bewiesen, daß es keine Nullstellen geben kann, da $f(x)$ stetig.
Loddar
|
|
|
| |
|
was willst du denn genau wissen, präzisier mal deine Frage
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:41 Fr 18.02.2005 | | Autor: | Blume123 |
Wie gesagt ich weiß nicht, wie ich mit dem e umgehen muss/kann...
Deswegen habe ich auch Probleme bei allen Punkten der Funktionsuntersuchung, weil ich ja überall umformen muss...
Die Ableitungen habe ich schon:
[mm] f(x)=2x-e^x
[/mm]
[mm] f'(x)=2-e^x
[/mm]
[mm] f''(x)=-e^x=f'''(x)
[/mm]
[mm] f(x)=5x*e^x
[/mm]
[mm] f'(x)=5e^x(1+x)
[/mm]
[mm] f''(x)=5e^x(2+x)
[/mm]
[mm] f'''(x)=5e^x(3+x)
[/mm]
mehr kriege ich nicht hin, wie oben schon beschrieben...
|
|
|
| |
|
ok, deine Ableitungen sehen schon mal gut aus,, über die e-Funktion weisst du aber Bescheid, oder?
also Nullstellen berechnen:
[mm] 2*x-e^x=0 [/mm] ist das schwierigste, weil elementar nicht lösbar
1.Ableitung: [mm] 2-e^x=0
[/mm]
-> [mm] e^x=2 [/mm] logarithmieren
-> x= ln(2) [mm] \approx [/mm] 0,69
kommst du soweit noch mit (die Nullstelle erklär ich dir morgen, das ist komplizierter, da brauch ich mehr Zeit...)
Grüsse
Oliver
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielleicht hilft es dir weiter, wenn du dir vorstellen kannst wie
die beiden Funktionen aussehen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
marthasmith
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:33 So 20.02.2005 | | Autor: | Blume123 |
Ja danke schonmal... soweit komme ich mit...
dann ist die mögliche Extremstelle also ungefähr 0,69
hinr. Bed. f'(x)=0 ; f''(x)=0
f''(0,69)=-e^(0,69)=-1,99 < 0 --> HP bei (0,69/-0,614)
Ist das richtig???
Dann die Wendestellen:
notw. Bed.: f''(x)=0
[mm] -e^x=0 [/mm] logarithmisieren
--> x= ln(-1) (aber das kann man ja net rechnen.... was mache ich denn da????)
Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ist denn der Rest richtig?
LG
|
|
|
| |
|
> Ja danke schonmal... soweit komme ich mit...
> dann ist die mögliche Extremstelle also ungefähr 0,69
>
> hinr. Bed. f'(x)=0 ; f''(x)=0
> f''(0,69)=-e^(0,69)=-1,99 < 0 --> HP bei (0,69/-0,614)
>
> Ist das richtig???
>
ja, sehr gut !
> Dann die Wendestellen:
>
> notw. Bed.: f''(x)=0
> [mm]-e^x=0[/mm] logarithmisieren
> --> x= ln(-1) (aber das kann man ja net rechnen....
> was mache ich denn da????)
>
> Kann mir hier jemand weiterhelfen? Ist denn der Rest
> richtig?
>
> LG
>
ähmm, aus [mm] -e^x=0 [/mm] folgt nicht x=ln(-1)
sondern:
-e^(x)=0
-> [mm] e^x=0 [/mm] (mit -1 multipliziert
und wo wird die e-Funktion = 0. Nirgends!
was folgt daraus?
überleg mal selbst weiter...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 20.02.2005 | | Autor: | Blume123 |
Hallo!!!
So ich schreibe jetzt nochmal alles so auf, wie ich es jetzt gerechnet habe... ich glaube ich habe es jetzt verstanden... womit ich ein bissel schwierigkeiten habe ist das Verhalten für x--> + und - unendlich und die Asymptoten und die Symmetrie...wäre lieb wenn mir da nochmal jemand helfen könnte... sonst habe ich das soweit jetzt glaube ich verstanden! Vielen Dank!!!
Würde mich freuen, wenn ich nochmal ein feedback bekommen würde, ob das ansonsten so alles stimmt...
[mm] f(x)=2x-e^x
[/mm]
1.Symmetrie???
2. Nullstellen
f(x)=0
--> [mm] 2x-e^x=0
[/mm]
--> [mm] 2x=e^x
[/mm]
da komme ich leider nicht weiter, das wolltet ihr mir ja noch erklären... :-(
3. Verhalten für x --> -/+ unendlich???
4. Ableitungen
[mm] f'(x)=2-e^x
[/mm]
[mm] f''(x)=-e^x
[/mm]
[mm] f'''(x)=-e^x
[/mm]
5.Extremstellen
notw. bed.: f'(x)=0
[mm] 2-e^x=0
[/mm]
[mm] 2=e^x
[/mm]
ln(2)=x=0,69
--> mögliche Extremstelle bei x=0,69
hinr. Bed.: f'(x)=0 v f''(x) ungleich 0
f''(0,69)=-e^(0,69)=-1,99<0 --> HP (0,69/-0,614)
6.Wendestellen
notw. Bed.: f''(x)=0
[mm] 0=-e^x
[/mm]
[mm] 0=e^x [/mm] da die e-Funktion nirgens gleich null ist, besitzt der Graph keine Wendestelle!
So die erste Aufgabe, nun die zweite
[mm] f(x)=5x*e^x
[/mm]
1. Symmetrie???
2. Nullstellen
[mm] 5x*e^x=0
[/mm]
5x=0 v [mm] e^x=0 [/mm] e-Funktion wird nirgens null
x=0
--> N(0/0)
3. Verhalten für x--> +/- unendlich
4. Ableitungen
[mm] f'(x)=5e^x+5x*e^x=5e^x(1+x)
[/mm]
f''(x)= [mm] 5e^x(2+x)
[/mm]
f'''(x)= [mm] 5e^x(3+x)
[/mm]
5. Extremstellen
notw. Bed.: f'(x)=0
[mm] 0=5e^x(1+x)
[/mm]
[mm] 0=5e^x [/mm] v -1=x
--> mögl. Extremstelle bei x=-1
hinr. Bed.: f'(x)=0 v f''(x)ungleich null
f''(-1)=1,84>0 --> TP (-1/-1,84)
6. Wendestellen
notw. Bed.: f''(x)=0
[mm] 0=5e^x(2+x)
[/mm]
[mm] 0=5e^x [/mm] v -2=x
mögl. Wendestelle bei x=-2
hinr. Bed.: f''(x)=0 v f'''(x) ungleich null
f'''(-2)=0,68 ungleich null --> WP(-2/-1,35)
Stimmt alles??? Kann mir noch jemand weiterhelfen???
LG Blumme
|
|
|
| |
|
also gut:
[mm] f(x)=2x-e^x
[/mm]
Nullstellen: [mm] 2x=e^x
[/mm]
das ist elementar nicht lösbar, nur mit numerischen Hilfsmitteln, es gibt aber einen einfachen Trick sich klar zu machen, dass es keine Nullstellen gibt.
Zeichne die beiden Funktionen f(x)=2x und [mm] f(x)=e^x [/mm] in ein Koordinatensystem un d siehe: es gibt keine schnittpunkte, also auch keine Nullstellen !!
2. Symmetrtie
[mm] f(x)=2x-e^x
[/mm]
f(-x)=-2x+e^(-x) [mm] \not= [/mm] f(x) -> keine Achsensymmetrie
-f(-x) =2x-e^(-x) [mm] \not=f(x) [/mm] -> keine Punktsymmetrie
also liegt keine Symmetie vor
3. Verhalten für [mm] \pm \infty
[/mm]
fangen wir mal an mit + [mm] \infty
[/mm]
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 2x-e^x =-\infty
[/mm]
warum ist das so?
die e-Funktion ist für positive x-Werte immer grösser als 2x, sie wächst auch stärker an, so dass die Differenz immer grösser wird
allgemein kann man sagen: die e-Funktion wächst stärker als jede Potenzfunktion für [mm] x->\infty
[/mm]
wie sieht das nun für [mm] x->-\infty [/mm] aus, wo läuft [mm] e^x [/mm] da hin...und wohin läuft 2x für [mm] x->\infty?
[/mm]
...na geht dir ein Licht auf, versuchs mal selbst, kannst ja hier dein Ergebnis posten.
|
|
|
| |
|
so nun zur 2. Aufgabe
[mm] f(x)=5x*e^x
[/mm]
Symmetrie: mach das mal wie bei Aufgabe 1, Ergebnis auch keine Symmetrie
Verhalten im unendlichen:
[mm] \limes_{x\rightarrow\infty} 5x*e^x [/mm]
wo läuft 5x hin?
wo läuft [mm] e^x [/mm] hin?
beides gegen [mm] \infty? [/mm] und was ergibt wohl [mm] \infty [/mm] * [mm] \infty [/mm] ??
[mm] \limes_{x\rightarrow\-infty} 5x*e^x [/mm]
schon etwas schwieriger: 5x läuft nun gegen [mm] -\infty
[/mm]
[mm] e^x [/mm] läuft gegen null
also ergibt sich ein Ausdruck wie 0*(- [mm] \infty), [/mm] was soll das sein?
hier gilt wieder: die e-Funktion steigt und fällt schneller als jede Potenzfunktion, d.h. die e-Funktion läuft schneller gegen null als 2x gegen [mm] -\infty
[/mm]
Merke: die e-Funktion überwiegt immer !!
ergo kommt einfach null heraus.
Ich erspare mir hier einen konkreten mathematischen Beweis, ich denke den benötigst du gar nicht...
hätte noch eine kleines Bild der Funktionen, hab aber noch nicht raus gekriegt, wie man hier Dateianhänge uploaden kann...
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:28 Do 01.02.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Hallo!
Also ich habe ebene in bisschen zum Thema Kurvendiskussion von e-Funktionengesucht und einiges durchgelesen.
An diesem Artikel hier bin ich hängengeblieben, weil ich nciht ganz verstehe, was
$ [mm] \limes_{x\rightarrow\-infty} 5x\cdot{}e^x [/mm] $ im Artikel von oliver.schmidt bedeuten soll?!
Kann mir da vielleicht jemand helfen?
Ich weiß nciht genau, gegen was x da nun läuft - zuvor ja gegen unendlich...
Achso...noch eine kurze Rückfrage...
Gibt es bei dieser Art von Funktionen keine Asymptoten und Polstellen?
wenn ja, wie muss ich diese denn berechnen?
Ich bin euch schonmal zuvor dankbar!!! 
AMY
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Do 01.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo Amy,
x läuft immer noch gegen unendlich, nur wurde in der Formel das "Minus" an die falsche Stelle geschrieben - eigentlich sollte das so aussehen:
[mm] \limes_{x\rightarrow-\infty} 5x\cdot{}e^x
[/mm]
> Achso...noch eine kurze Rückfrage...
> Gibt es bei dieser Art von Funktionen keine Asymptoten und
> Polstellen?
> wenn ja, wie muss ich diese denn berechnen?
nein, hier gibt es keine Polstellen und Asymptoten
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Do 01.02.2007 | | Autor: | Amy1988 |
Okay Herby...
Vielen, vielen Dank für die schnelle Antwort!
Sag, gibt es NIE Asymptoten und Polstellen bei derartigen Funktionen?
Schönen Tag noch...
LG
Amy
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 Do 01.02.2007 | | Autor: | Herby |
Hallo,
eine Polstelle besagt, dass du im Nenner auf irgendeine Weise eine Null produzieren kannst. Hast du die Form:
[mm] g(x)*e^x
[/mm]
dann steht g(x) [ein beliebiges Polynom] im Zähler und [mm] e^x [/mm] kann zwar für x<0 im Nenner stehen, aber nie Null werden, ergo keine Polstellen!
Liebe Grüße
Herby
|
|
|
|
Kurvendiskussion![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
Die stimmen alle.
.
