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| Aufgabe | Gegeben sind die Funktionen f(x)= [mm] e^{\bruch{x}{2}} [/mm] und [mm] g(x)=e^{\bruch{3}{4}-\bruch{x}{4}}
[/mm]
a) Bestimmen sie den Inhalt der Fläche die von den Graphen und der y-Achse eingeschlossen wird.
b) Berechnen sie den Schnittwinkel der beiden Graphen.
c) Eine Ursprungsgerade h berüht den Graphen von f als Tangente. Wo liegt der Berührungspunkt von f un h ?
Wie lautet die Gleichung von h?
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Also ich hätte da mal ein paar Fragen!
a) Also ich muss ja die Differentialgleichung finden und integrieren also
d(x) = f(x)-g(x) --> d(x)= [mm] e^{\bruch{x}{2}}- e^{\bruch{3}{4}-\bruch{x}{4}}
[/mm]
lautet die Stammfunktion jetzt d(x) = [mm] 2e^{\bruch{x}{2}}- 4e^{\bruch{3}{4}-\bruch{x}{4}} [/mm] ??
b)also der Schnittwinkel berechnet sich ja mit der Formel:
tan [mm] \alpha [/mm] = [mm] \bruch{m1-m2}{1+m1*m2}
[/mm]
aber welche Steigung haben die Funktionen? sind das bei
f(x) = 0.5 und bei g(x)=0.25 ?
c) Hier sehe ich nicht ganz durch. Der Berührungspunkt ist ja der Schnittpunkt oder? aber wie bekommen ich die Gleichung für h raus?
Danke euch schon mal für eure Hilfe
eure Angeleyes
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:34 Sa 12.04.2008 | | Autor: | Smex |
Also bei der a) würde ich sagen, dass die Stammfunktion ein + in der Mitte haben muss, also d(x) = $ [mm] 2e^{\bruch{x}{2}}+ 4e^{\bruch{3}{4}-\bruch{x}{4}} [/mm] $
zur b): du musst zunächst beide Graphen gleichsetzten um auf den Schnittpunkt zu kommen. Dann berechnest du einfach [mm] f'(x_0) [/mm] bzw. [mm] g'(x_0) [/mm]
wobei [mm] x_0 [/mm] der Schnittpunkt ist. Damit hast du dann die Steigung und kannst in deine Formel einsetzten.
zu c): Warum sollte der Berührpunkt auch der Schnittpunkt sein? Die Definition eines Berührpunktes ist doch, dass [mm] f(x_0) [/mm] = [mm] g(x_0) [/mm] und
[mm] f'(x_0) [/mm] = [mm] g'(x_0).
[/mm]
Vielleicht kommst du damit schonmal etwas weiter
Gruß Smex
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also zu
b) als schnitpunkte habe ich x=2 und y= 2,718
und diese punkte setze ich jetzt in f'(x) und g'(x) ein?
also f'(2)= [mm] 0.5*e^{0.5*2} [/mm] g'(2)= [mm] -0.25*e^{\bruch{3}{4} -\bruch{2}{4}}
[/mm]
wären ja dann für f(´x)= 1.359 und g(x)= -0.679
c) habe ich immer noch nicht ganz verstanden, wenn ich f'(x)= g'(x) gleichsetze bekómme ich den berührungspunkt?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:02 Di 15.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
> also zu
>
> b) als schnitpunkte habe ich x=2 und y= 2,718
> und diese punkte setze ich jetzt in f'(x) und g'(x) ein?
> also f'(2)= [mm]0.5*e^{0.5*2}[/mm] g'(2)= [mm]-0.25*e^{\bruch{3}{4} -\bruch{2}{4}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> wären ja dann für f(´x)= 1.359 und g(x)= -0.679
Ich habs nicht nachgerechnet, aber es wird wohl dann stimmen. PS: Das "=" ist gelogen. Es ist nur gerundet...
>
> c) habe ich immer noch nicht ganz verstanden, wenn ich
> f'(x)= g'(x) gleichsetze bekómme ich den berührungspunkt?
Jein. Wenn du nur f'(x)=g'(x) setzt, dann kann es ja sein, dass die beiden Graphen sich nicht schneiden, aber an der selben Stelle eine parallele Tangente haben. Nimm dir z.B. zwei parallele Geraden. Da gilt auch f'(x)=g'(x), aber sie berühren nicht. Jetzt kannst du ja eine senkrechte Gerade zeichnen, z.B. bei x=2, und da eine Kurve dranlegen, die an der Stelle x=2 beide Geraden als Tangente hat. Dann gilt zwar auch wieder f'(x)=g'(x), aber sie berühren einander nicht.
Folgende Gedanken helfen nun aber weiter:
1) Berühren ist berühren, schneiden ist schneiden. Beim Berühren gilt aber, dass die Steigungen an der Berührstelle gleich sein müssen ,denn sonst würden sich die Graphen ja schneiden. Mach dir eine Skizze, das sollte das Problem veranschaulichen.
Hier hilft dir aber folgender, einfacher Gedanke, wenn man ihn kennt, weiter:
Ursprungsgerade sagt dir: y=mx. Dann ist m die Steigung der Tangente. Die Steigung kannst du mit dem Steigungsdreieck berechnen, das in deinem einfachen Fall $m=\frac{f(x)}{x]$ ausschaut. Denn du weist, dass die Tangente durch (0;0) geht und durch (x;f(x)).
Nun weist du aber auch, dass sich die Steigung im Berührpunkt x so ausrechnen lässt: f'(x). Also weist du, dass du einmal die Steigung m durch das Steigungsdreieck berechnen kannst, das andere mal über f'(x). Dann gleichsetzen und nach x auflösen, und du bist fertig.
LG
Kroni
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