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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:17 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
| Aufgabe | Das Wachstum einer Bakterienart wird im Labor experimentell untersucht. Dazu wird die Anzahl der Bakterien in der Nährlösung halbstündlich ausgezählt.
Es ergibt sich folgendes Messprotokoll:
Zeit t in Stunden und Anzahl der Bakterien in 1000
0t= 0,51
0,5t= 0,65
1t= 0,84
1,5t= 1,07
2t=1,37
2,5t= 1,76
3t= 2,25
a) Liegt hier ein exponentielles Wachstum vor?
b) Stelle das Wachstumsgesetz auf (Zeit t in Stunden) und zeichne den Graphen der Wachstumsfunktion.
c) Bestimme die Zeit t, in welcher sich die Bakterienzahl jeweils verdoppelt.
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So, hier bin ich noch mal. Aber meine Mathehausaufgaben sind echt schwer:(
Ich hoffe die Wertetabelle kann man halbwegs klar verstehen.
a) hab ich schon erledigt, denn ich bin mir eigentlich sicher das es eine exponetielles Wachstum ist, da es ja nicht gleichmäßig ansteigt.
bei b) bin ich ratlos wie ich das Wachstumsgesetz aufstellen soll ich bin nur bis f(t)= gekommen... und wie ich den Graphen zeichnen soll, weiß ich bisher auch nicht. An sich dacht ich mir, zeichne ich den einfach mit Hilfe der Wertetabelle, dh bei 0t auf der x-achse = 0,51 auf der y-Achse. Aber das ist ja nicht der Graph der Wachstumsfunktion, oder?
Bei c) bin ich auch ratlos:( Ich habe mir jetzt einfach so gedacht, dass sie die Anzahl ja zwischen 1 und 1,5t verdoppelt. Ich habe einfach den Anfangswert 0,51 mal 2 genommen...Aber das ist ja alles nicht wirklich rechnerisch bewiesen.
Ich bin dankbar für jede Hilfe!
MFG Easy
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Hallo Easy!
Ist Dir denn mit der allgemeinen Formel für das expoentielle Wachstum geholfen?
$$N(t) \ = \ [mm] N_0*e^{k*t}$$
[/mm]
Mit den gegebenen Werten musst Du nun durch Einsetzen die beiden Unbekannten [mm] $N_0$ [/mm] bzw. $k_$ ermitteln:
$$N(0) \ = \ [mm] N_0*e^{k*0} [/mm] \ = \ [mm] N_0*1 [/mm] \ = \ 0.51$$
$$N(1) \ = \ [mm] N_0*e^{k*1} [/mm] \ = \ ... \ = \ 0.84$$
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:58 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Leider versteh ich das überhaupt nicht:( Die Formel hab ich auch noch nie gesehen:( Ich brauch doch gar kein k ausrechnen oder? Ist die Formel einfach das Wachstumsgesetzt? Ich dachte nämlich, das müsste ich mir selbst zusammen setzen.
Und dann versteh ich auch noch nicht, wie ich due zeit t ermittle, in der sich die bakterienzahl verdoppelt...Tut mir leid, aber ich bin nicht so die hellste in mathe..
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:42 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Roadrunner |
Hallo Easy!
Wie habt ihr denn bisher Aufgaben mit exponentiellem Wachstum behandelt und berechnet?
Gruß vom
Roadrunner
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:45 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
Also wir haben erst vor kurzem mit dem Thema angefangen. Wir haben nur die allgemeine Exponentialfunktion f(x)=c mal a hoch x bekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:24 Mi 19.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Hallo Easy2,
> a) hab ich schon erledigt, denn ich bin mir eigentlich
> sicher das es eine exponetielles Wachstum ist, da es ja
> nicht gleichmäßig ansteigt.
>
Prima.
> bei b) bin ich ratlos wie ich das Wachstumsgesetz
> aufstellen soll ich bin nur bis f(t)= gekommen... und wie
> ich den Graphen zeichnen soll, weiß ich bisher auch nicht.
> An sich dacht ich mir, zeichne ich den einfach mit Hilfe
> der Wertetabelle, dh bei 0t auf der x-achse = 0,51 auf der
> y-Achse. Aber das ist ja nicht der Graph der
> Wachstumsfunktion, oder?
Also, ihr behandelt Funktionen der Form $f(t)=c [mm] a^t$. [/mm] Ein derartige Funktion
sollt du in deine Zeichnung einpassen. Orientieren wir uns an den Tipps
vom Roadrunner.
Wenn die Kurve durch die Punkte (0,0.51) und (1,0.84) gehen soll, dann
muss ja offenbar gelten $0.51=f(0)=c a ^0=c$ und $0.84=f(1)=a [mm] c^1=ac$. [/mm]
Damit ist $c=0.51$ und $a=0.84/0.51=1.647$. Zeichne also die Kurve [mm] $0.51\times 1.647^t$
[/mm]
in deine Zeichnung.
>
> Bei c) bin ich auch ratlos:( Ich habe mir jetzt einfach so
> gedacht, dass sie die Anzahl ja zwischen 1 und 1,5t
> verdoppelt. Ich habe einfach den Anfangswert 0,51 mal 2
> genommen...Aber das ist ja alles nicht wirklich rechnerisch
> bewiesen.
Wir messen zu den Zeitpunkten [mm] $t_1
[mm] $f(t_1)$ [/mm] bzw. [mm] $f(t_2)$. [/mm] Damit sich die Zahl verdoppelt, muss also
gelten [mm] $f(t_2)=2f(t_1)$, [/mm] also $c [mm] a^{t_2}=2ca^{t_1}$, [/mm] also [mm] $a^{t_2-t_1}=2$.
[/mm]
Kommst du jetzt weiter? Tipp: Logarithmus.
lgluis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:45 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Easy2 |
ja, das leuchtet mir ein:) Nur ich frag mich wo bei der letzten gleichung das c hin ist: warum heißt die gleichung nur noch a hoch t1-t2=2 und wie rechne ich die exponenten aus, da stehen ja gleich 2 und ich soll ja auch nur ein t ausrechnen.
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Hallo Isabel!
Das $c_$ hat sich bei der Gleichung [mm] $c*a^{t_1} [/mm] \ = \ [mm] 2*c*a^{t_2}$ [/mm] "herausgekürzt", indem wir die Gleichung durch $c \ [mm] \not= [/mm] \ 0$ geteilt haben.
Bei der Gleichung [mm] $a^{t_1-t_2} [/mm] \ = \ 2$ ist ja nach der Zeitdifferenz gefragt. Von daher reicht es, wenn u diese Gleichung nach [mm] $t_1-t_2 [/mm] \ = \ ...$ umstellst.
Wenn es Dir leichter fällt, setzt hier ein: $x \ = \ [mm] t_1-t_2$ [/mm] . Und nun die Gleichung [mm] $a^x [/mm] \ = \ 2$ nach $x \ = \ ...$ umstellen.
Gruß vom
Roadrunner
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:13 Mi 19.09.2007 | | Autor: | Blech |
> Das Wachstum einer Bakterienart wird im Labor experimentell
> untersucht. Dazu wird die Anzahl der Bakterien in der
> Nährlösung halbstündlich ausgezählt.
> Es ergibt sich folgendes Messprotokoll:
>
> Zeit t in Stunden und Anzahl der Bakterien in 1000
>
> 0t= 0,51
> 0,5t= 0,65
> 1t= 0,84
> 1,5t= 1,07
> 2t=1,37
> 2,5t= 1,76
> 3t= 2,25
>
> a) Liegt hier ein exponentielles Wachstum vor?
Das Wachstum ist exponentiell, wenn in gleichen Zeiträumen die Funktion um den gleichen Faktor ansteigt.
d.h. wenn z.B. [mm] $\frac{f(0,5)}{f(0)}=\frac{f(1)}{f(0,5)}=\frac{f(2,5)}{f(2)}=\dots$
[/mm]
> c) Bestimme die Zeit t, in welcher sich die Bakterienzahl
> jeweils verdoppelt.
Und deswegen ist hier auch nur die Zeitdifferenz gefragt. Solange die Bakterienzahl exponentiell wächst, ist es völlig wurscht, wann Du anfängst zu messen und wieviele Bakterien gerade da sind. Die Zahl wird sich immer im gleichen Zeitraum verdoppeln.
Das ist der Witz an der Exponentialfunktion und deswegen brauchst Du sie für so Dinge wie Bakterienwachstum oder Zinsen.
=)
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