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| Aufgabe | Entscheiden sie ob für die Funktion f mit f(x)= [mm] a*3^x, [/mm] a aus den reelen Zahlen die folgenden Aussagen richtig, falsch oder nicht entscheidbar sind. Geben sie jeweils eine Begründung an.
1. Ist g(x) [mm] =a*b^x [/mm] mit b>3 so gilt stets g(x)>f(x).
2. Für den Funktionswert f(x+2) gilt immer: [mm] f(x+2)=3^2*f(x).
[/mm]
3. Für den Funktionswert f(2x) gilt immer: [mm] f(2x)=(f(x))^2
[/mm]
4. Zum an der y-Achse gespiegelten Graphen der Funktion f existiert ebenfalls eine Funktion. Dies ist die Funktion h mit [mm] h(x)=a*(-3)^x [/mm] |
Sooo, ich hab das in meinem Mathebuch gefunden. Ich hab versucht mir selbst Begründungen dafür zu geben, aber habe einfach keine stichhaltigen gefunden...
Ist hier jemand der mir da weiterhelfen kann?
Liebe Grüße, Melli
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:01 Di 28.11.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Melli
> Entscheiden sie ob für die Funktion f mit f(x)= [mm]a*3^x,[/mm] a
> aus den reelen Zahlen die folgenden Aussagen richtig,
> falsch oder nicht entscheidbar sind. Geben sie jeweils eine
> Begründung an.
>
> 1. Ist g(x) [mm]=a*b^x[/mm] mit b>3 so gilt stets g(x)>f(x).
Schreib das doch mal hin.
[mm] a*\underbrace{b}_{>3}^{x}>a*3^{x}
[/mm]
[mm] \gdw b^{x}>3^{x}
[/mm]
Jetzt mach am besten eine Falluterscheidung:
ist x>0, so gilt:
b>3, was ja die Bedingung ist.
Ist x<0, so gilt:
[mm] b^{x}>3^{x} [/mm] nach Voraussetzung oben.
Aber jetzt:
[mm] \bruch{1}{b^{-x}}>\bruch{1}{3^{-x}}
[/mm]
-x ist nun ja >0, also passt die Aussage für x<0 nicht mehr.
Gegenbeispiel:
[mm] \bruch{1}{16}=\bruch{1}{4²}\not{>}\bruch{1}{3²}=\bruch{1}{9}
[/mm]
> 2. Für den Funktionswert f(x+2) gilt immer:
> [mm]f(x+2)=3^2*f(x).[/mm]
Schreib doch mal f(x+2) hin:
[mm] f(x+2)=a*3^{x+2} [/mm] und wende jetzt die Potenzgesetze an. Kommst du auf [mm] \underbrace{3²*a*3^{x}}_{=3²*f(x)}?
[/mm]
> 3. Für den Funktionswert f(2x) gilt immer: [mm]f(2x)=(f(x))^2[/mm]
Selbe Prinzip wie Aufgabe 2.
ist [mm] f(2x)=a*e^{2x}=(f(x))²?
[/mm]
> 4. Zum an der y-Achse gespiegelten Graphen der Funktion f
> existiert ebenfalls eine Funktion. Dies ist die Funktion h
> mit [mm]h(x)=a*(-3)^x[/mm]
Probieren:
Für die Achsensymmetrie zur x-Achse gilt ja:
f(-x)=f(x)
Und ein wenig weiterüberlegen. Was muss den jetzt gelten? Kannst du das Prüfen?
[...]
> Liebe Grüße, Melli
Marius
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