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Forum "Uni-Analysis-Sonstiges" - Exponentialfunktion Gleichung
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Exponentialfunktion Gleichung: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:17 Mi 25.08.2010
Autor: john_rambo

Aufgabe
Lösen Sie die folgenden Gleichungen in reellen Zahlen:

a) [mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3.

b) [mm] ln(\wurzel{c}) [/mm] + [mm] \bruch{3}{2}ln(x) [/mm] = ln(2x)

Bei mir haperts irgendwie schon am Anfang, ich will mal wissen, stimmt das so?

a)

[mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3    |ln()

x + ln(2) * (-x) = ln(3)

[mm] \bruch{1 - ln(2)}{ln(3)} [/mm] * x = 1

x = [mm] \bruch{ln(3)}{1 - ln(2)} [/mm]

        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: zu Teilaufgabe a.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:21 Mi 25.08.2010
Autor: Roadrunner

Hallo johnrambo!


Wenn Du eine Gleichung logarithmierst, musst Du das jeweils mit der gesamten Seite machen.

Bedenke, dass gilt:
[mm] $$e^{-x} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{e^x}$$ [/mm]
Ersetze nun $z \ := \ [mm] e^x$ [/mm] und multipliziere die Gleichung mit $z_$ .
Damit hast Du dann eine quadratische Gleichung für $z_$ .


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:38 Mi 25.08.2010
Autor: john_rambo

Also ich habs jetzt etwas anders gemacht:

[mm] e^{x} [/mm] + [mm] 2e^{-x} [/mm] = 3

[mm] e^{x} [/mm] + [mm] \bruch{2}{e^{x}} [/mm] = 3   |* [mm] e^{x} [/mm]

[mm] e^{2x} [/mm] + 2 = [mm] 3*e^{x} [/mm]

z = [mm] e^{x} [/mm]

[mm] z^2 [/mm] - 3z + 2 = 0

abc-Formel =>

z = 2 oder z = 1 =>

[mm] e^{x} [/mm] = 2 oder [mm] e^{x} [/mm] = 1

Und jetzt logarithmieren, damit ich nun das Ergebnis hab?

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:41 Mi 25.08.2010
Autor: abakus


> Also ich habs jetzt etwas anders gemacht:
>  
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]2e^{-x}[/mm] = 3
>  
> [mm]e^{x}[/mm] + [mm]\bruch{2}{e^{x}}[/mm] = 3   |* [mm]e^{x}[/mm]
>  
> [mm]e^{2x}[/mm] + 2 = [mm]3*e^{x}[/mm]
>  
> z = [mm]e^{x}[/mm]
>  
> [mm]z^2[/mm] - 3z + 2 = 0
>  
> abc-Formel =>
>
> z = 2 oder z = 1 =>
>
> [mm]e^{x}[/mm] = 2 oder [mm]e^{x}[/mm] = 1
>  
> Und jetzt logarithmieren, damit ich nun das Ergebnis hab?

So isses.
Gruß Abakus


Bezug
        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: zu Teilaufgabe b.)
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:23 Mi 25.08.2010
Autor: Roadrunner

Hallo john_rambo!


Wende hier folgende MBLogarithmengesetze zum Zusammenfassen an:
[mm] $$m*\log(x) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(x^m\right)$$ [/mm]
[mm] $$\log(x)+\log(y) [/mm] \ = \ [mm] \log(x*y)$$ [/mm]
[mm] $$\log(x)-\log(y) [/mm] \ = \ [mm] \log\left(\bruch{x}{y}\right)$$ [/mm]

Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:48 Mi 25.08.2010
Autor: john_rambo

Und jetzt zur b)

[mm] ln(\wurzel{x}) [/mm] + 3/2 * ln(x) = ln(2x)

Regel: m * log(x) = log [mm] (x^{m}) [/mm]

[mm] \bruch{3}{2}ln(x) [/mm] = [mm] ln(x^{\bruch{3}{2}}) [/mm]

Regel: log(x) + log(y) = log(x * y)

[mm] ln(\wurzel{x}) [/mm] + [mm] ln(x^{\bruch{3}{2}}) [/mm] = [mm] ln(\wurzel{x} [/mm] * [mm] x^{\bruch{3}{2}}) [/mm] = [mm] ln(x^2) [/mm]

[mm] ln(x^2) [/mm] = ln(2x)

[mm] ln(x^2) [/mm] - ln(2x) = 0

Regel: log(x) - log(y) = log(x/y)

=> [mm] ln(\bruch{x^2}{2x}) [/mm] = [mm] ln(\bruch{x}{2}) [/mm] = 0 =>

ln(x) - ln(2) = 0
ln(x) = ln(2)
[mm] e^x [/mm] = [mm] e^2 [/mm]

Stimmt das ?

Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: soweit richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Mi 25.08.2010
Autor: Roadrunner

Hallo john_rambo!


Das stimmt soweit. [ok]

Aber was ist nun $x_$ ?


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                                
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:12 Mi 25.08.2010
Autor: john_rambo

b)

x = 2 ?

Bezug
                                        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:16 Mi 25.08.2010
Autor: Roadrunner

Hallo!


> x = 2 ?

[daumenhoch]


Gruß vom
Roadrunner


Bezug
                        
Bezug
Exponentialfunktion Gleichung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:47 Mi 25.08.2010
Autor: abakus


> Und jetzt zur b)
>  
> [mm]ln(\wurzel{x})[/mm] + 3/2 * ln(x) = ln(2x)
>  
> Regel: m * log(x) = log [mm](x^{m})[/mm]
>  
> [mm]\bruch{3}{2}ln(x)[/mm] = [mm]ln(x^{\bruch{3}{2}})[/mm]
>  
> Regel: log(x) + log(y) = log(x * y)
>  
> [mm]ln(\wurzel{x})[/mm] + [mm]ln(x^{\bruch{3}{2}})[/mm] = [mm]ln(\wurzel{x}[/mm] *
> [mm]x^{\bruch{3}{2}})[/mm] = [mm]ln(x^2)[/mm]
>  
> [mm]ln(x^2)[/mm] = ln(2x)
>  
> [mm]ln(x^2)[/mm] - ln(2x) = 0
>  
> Regel: log(x) - log(y) = log(x/y)
>  
> => [mm]ln(\bruch{x^2}{2x})[/mm] = [mm]ln(\bruch{x}{2})[/mm] = 0 =>
>  
> ln(x) - ln(2) = 0
>  ln(x) = ln(2)
>  [mm]e^x[/mm] = [mm]e^2[/mm]
>  
> Stimmt das ?

Zufälligerweise doch.
Du hast dir zwar gerade selbst eine mögliche Lösung abschossen, denn
aus [mm] ln(x^2) [/mm] = ln(2x) folgt (durch beidseitiges "e-hoch-nehmen")
[mm] x^2=2x [/mm] mit den beiden möglichen Lösungen x=0 und x=2.
Deine Nachlässigkeit blieb aber ohne Folgen, weil ln(x) für x=0 gar nicht definiert ist.
Gruß Abakus




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