Exponentialfamilien < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 12:22 Sa 04.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
| Aufgabe | Zur Vorbereitung auf eine baldige Klausur möchte ich gerne für die geometrische Verteilung schauen, ob
[mm] $\left\{\operatorname{Geo}(p):p\in [0,1]\right\}$
[/mm]
eine Exponentialfamilie ist. |
Für die geometrische Verteilung gilt:
[mm] $P(X=x)=p(1-p)^{x-1}$
[/mm]
Zunächst schaut man ja, ob der Träger unabhängig vom Parameter ist.
Hier ist der Träger [mm] $\left\{1,2,3,...\right\}$ [/mm] und der ist unabhängig vom Parameter, hier $p$.
Als nächstes logarithmiere ich dann, sprich
[mm] $\log\left(p(1-p)^{x-1}\right)=\log(p)+(x-1)\log(1-p)$
[/mm]
Gefragt war ja, ob man eine Darstellung der Form
[mm] $\exp\left\{a(p)b(x)+c(p)+d(x)\right\}$ [/mm] finden kann und diese hat man m.E. jetzt schon gefunden, nämlich
$ [mm] a(p)=\log(1-p)$
[/mm]
$ b(x)=x-1$
$ [mm] c(p)=\log(p) [/mm] $
$ d(x)=0 $
Demnach ist [mm] $\left\{\operatorname{Geo}(p):p\in [0,1]\right\}$ [/mm] eine (eindimensionale) einparametrige Exponentialfamilie.
-----
Dann kann man noch die kanonische Darstellung [mm] $\Psi b(x)-h(\Psi)+d(x)$ [/mm] bestimmen.
[mm] $\Psi=a(p)=\log(1-p)\Leftrightarrow p=a^{-1}(\Psi)=\exp(1-\Psi)$
[/mm]
[mm] $h(\Psi)=-c(p)=-\log(\exp(1-\Psi))=-(1-\Psi)=\Psi-1$
[/mm]
Ich wüsste gerne, ob das so stimmt.
Grüße
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:56 Sa 04.02.2012 | | Autor: | dennis2 |
Bei der kanonischen Darstellung habe ich mich vertan.
[mm] $a^{-1}(\Psi)=1-e^{\Psi}$
[/mm]
Damit komme ich dann auf
[mm] $h(\Psi)=-\log(1-e^{\Psi})$
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:20 Mo 06.02.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
