Exp(z) < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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exp(z)= exp(z) und I exp(z) I = exp(Re z)
sind Betragsstriche......
ich soll zeigen das das gilt?
weiß bloß nicht wie...........
Gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Mi 20.12.2006 | | Autor: | Rene |
Erstes kannst du wie folgt zeigen
Es gilt ja
$ z=u+iv $
$ [mm] \bar [/mm] z = u-iv $
Also kannst du schreiben
$ [mm] \overline{exp(u+iv)} [/mm] = [mm] \overline{exp(u)*exp(iv)} =\overline{exp(u)}*\overline{exp(iv)} [/mm] $
Es gilt nun
$ [mm] \overline{exp(u)} [/mm] = exp(u) $
$ [mm] \overline{exp(iv)} [/mm] = [mm] \overline{cos(v)-i*sin(v)} [/mm] = cos(-v)+i*sin(-v) = exp(-iv) $
Somit erhälst du
$ exp(u)*exp(-iv) = exp(u-iv) = [mm] exp(\bar [/mm] z) $
Zweites Kannst du wie folgt zeigen
$ |exp(z)|=|epx(u)*exp(iv)|=|exp(u)|*|exp(iv)| $
es gilt ja
$ exp(iv) = cos(v)+i*sin(v) $
$ |exp(iv)| = |cos(v)+i*sin(v)| = [mm] \wurzel{cos²(v)+sin²(v)} [/mm] = 1 $
einsetzen ergibt
$ |exp(u)|*|exp(iv)| = |exp(u)| $
mit
$ exp(x) > 0 [mm] \quad ,x\in\IR [/mm] $
entfallen die Betragstriche und du erhälst
$ |exp(u)|=exp(u) = [mm] exp(\operatorname{Re}\{z\}) [/mm] $
MfG
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Hi,
danke sehr..........
Gruß
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