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| Aufgabe | Sei T eine [mm] ]0,\infty[-wertige [/mm] Zufallsvariable mit der Eigenschaft [mm] G_{T}:= [/mm] P(T>t) [mm] \in [/mm] ]0,1[ für alle t > 0. Z.z. Folgende Aussagen sind äquivalent:
a) P(T>t+s|T>t) = P(T>s) für alle s,t>0
b) Es gibt ein [mm] \alpha [/mm] >0, sodass [mm] G_{T}(t)= e^{-\alpha*t} [/mm] für alle t>0 |
Hallo!!
Beim Zeigen dieser beiden äquivalenten Aussagen bin ich auf ein paar Unklarheiten gestoßen. Kann sich bitte jemand meinen Beweis anschauen, und mir evtl. helfen? Das wäre echt sehr nett.
Zuerst zeige ich die Richtung [mm] "\Leftarrow":
[/mm]
Annahme, es gibt ein [mm] \alpha [/mm] >0 mit [mm] G_{T}(t)=e^{-\alpha*t} \forall [/mm] t >0.
Z.z. ist die Aussage in a):
P(T>t+s|T>t) = [mm] \bruch{P(T>t+s \cap T>t)}{P(T>t)}= \bruch{P(T>t+s \cap T>t)}{e^{-\alpha*t}}, [/mm] also die Defintion der bedingten Wahrscheinlichkeit.
Dann soll ich ja die Gleichheit zu P(T>s) zeigen.
Hierzu betrachte ich mal das "Gegenteil":
P(T [mm] \le [/mm] s)= [mm] \integral_{0}^{s}{\alpha*e^{-\alpha*x} dx}= 1-e^{-\alpha*s}
[/mm]
Daraus folgt das Gesuchte: P(T>s) = 1-P(T [mm] \le [/mm] s)= [mm] 1-(1-e^{-\alpha*s})= e^{-\alpha*s}
[/mm]
D.h. also, dass die obige Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit gleich [mm] e^{-\alpha*s} [/mm] sein muss:
P(T>t+s|T>t) = [mm] \bruch{P(T>t+s \cap T>t)}{P(T>t)}= \bruch{P(T>t+s \cap T>t)}{e^{-\alpha*t}}= e^{-\alpha*s} [/mm]
Dann muss aber der Zähler P(T>t+s [mm] \cap [/mm] T>t)= [mm] e^{-\alpha*t}e^{-\alpha*s} [/mm] sein, aber hier ist genau mein Problem, ich komm einfach nicht auf dieses Ergebnis im Zähler:
Wie muss ich P(T>t+s [mm] \cap [/mm] T>t) ausrechnen? Hier bitte helfen.
Bei der Richtung [mm] "\Rightarrow" [/mm] habe ich mehr Schwierigkeiten. Ich habe versucht, die Aussage in a) als Funktionalgleichung für [mm] G_{T}(t):= [/mm] P(T>t) zu schreiben:
Es gilt: exp(x+y)=exp(x)*exp(y)
Weiter weiß ich leider nicht. Kann mir da jemand helfen?
Großes Dankeschön!
Mfg, Infinity1982
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:37 So 19.11.2006 | | Autor: | Milka_Kuh |
Hallo Binie,
also so wie deine Lösung aussieht, scheint sie ganz gut zu sein. Zumindest wüsste ich jetzt nix, was dagegen sprechen sollte... Ich hab irgendwas mit Funktionalgleichungen ausprobiert, bin aber nie ans Ziel gekommen.
Vielen Dank für deine Hilfe! Allerdings weiß ich nicht, was Infinity dazu meint.
Gruß,
Milka
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:20 Mi 22.11.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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