Existiert der Grenzwert < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Zeige, dass der Grenzwert [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{\bruch{sinx}{x} dx} [/mm] existiert, dass aber [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{|\bruch{sinx}{x}| dx}=\infty [/mm] ist. |
Hallo an alle!
Ich komme, und komme einfach nicht auf einen vernümftigen Ansatz bei der Aufgabe... evtl. könnte mir ja jemand einen Tipp geben?? :)
Anschaulich ist mir das eigentlich klar:
[mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] ist ja eine Sinusfunktion, die immer schwächer wird. Die Flächen zwischen der x-Achse sind einmal positiv und einmal Negativ, somit löschen sie sich aus?!
[mm] |\bruch{sinx}{x}| [/mm] "schwingt" quasi nur über der x-Achse somit Addieren sich die Flächenanteile, und es wird immer größer.
Ich habe [mm] \bruch{sinx}{x} [/mm] schon partiell Integirert wie ne Wahnsinnige... hab aber nichts brauchbares damit anfangen können!
Wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben könnte...
Vielen Dank schonmal!
Und viele Grüße! :))
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:53 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Disap |
> Zeige, dass der Grenzwert [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{\bruch{sinx}{x} dx}[/mm]
> existiert, dass aber [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{n}{|\bruch{sinx}{x}| dx}=\infty[/mm]
> ist.
> Hallo an alle!
Moin.
> Ich komme, und komme einfach nicht auf einen vernümftigen
> Ansatz bei der Aufgabe... evtl. könnte mir ja jemand einen
> Tipp geben?? :)
Mir fällt da auch nichts zu ein, nur, dass du da mit partieller Integration nicht weiterkommst. Und mit Substitution auch nicht. Stattdessen einige Links (hier im Matheraum):
Link 1
Link 2
Link-3
Link 4
Link 5
Was du davon verwerten kannst, weiß ich nicht. Ich habe auch nur nach sin(x) / x Ausschau gehalten.
> Anschaulich ist mir das eigentlich klar:
>
> [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] ist ja eine Sinusfunktion, die immer
> schwächer wird. Die Flächen zwischen der x-Achse sind
> einmal positiv und einmal Negativ, somit löschen sie sich
> aus?!
>
> [mm]|\bruch{sinx}{x}|[/mm] "schwingt" quasi nur über der x-Achse
> somit Addieren sich die Flächenanteile, und es wird immer
> größer.
>
> Ich habe [mm]\bruch{sinx}{x}[/mm] schon partiell Integirert wie ne
> Wahnsinnige... hab aber nichts brauchbares damit anfangen
> können!
>
> Wäre schön, wenn mir jemand einen Denkanstoß geben
> könnte...
Hoffentlich konnte ich es.
> Vielen Dank schonmal!
> Und viele Grüße! :))
Schöne Grüße
Disap
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:31 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
wende einfach das Cauchy-Kriterium an:
[mm] \integral_{y_{1}}^{y_{2}}{\bruch{sin x}{x} dx}=-\bruch{cos x}{x} [/mm] (in den Grenzen entsprechen) - [mm] \integral_{y_{1}}^{y_{2}}{\bruch{cos x}{x²} dx} [/mm] von hier kommst du ja selbst weiter.
[mm] \integral_{\pi}^{n\pi}{betrag\bruch{sin x}{x} dx}=\summe_{k=2}^{n} \integral_{(k-1)\pi}^{k\pi}{betrag\bruch{sin x}{x} dx}\ge\summe_{k=2}^{n} \bruch{1}{k\pi}\integral_{(k-1)\pi}^{k\pi}{betrag sin x dx}\ge \bruch{2}{\pi}\summe_{k=2}^{n}\bruch{1}{k}, [/mm] was ja unbeschränkt ist.
Gruß
Hund
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Ersteinmal viiielen lieben dank für die schnellen Antworten! :)
Ich schreibe einfach mal meine Lösungsversuche auf.. mal sehen, ob das so machbar ist:
Also, zu ersten Teil der Aufgabe:
Mit Partieller Integration folgt:
[mm] \int\limits_a^b \frac{\sin(x)}{x}\, [/mm] dx = [mm] \left[ \frac{-\cos(x)}{x} \right]_a^b [/mm] - [mm] \int\limits_a^b \frac{\cos(x)}{x^2}\, [/mm] dx
da cosx nur Werte zwischen 1und-1 liefert, kann ich es mit Blick auf das Cauchy-Kriterium weglassen, wenn ich schreibe:
[mm] \left\vert\left[ \frac{-\cos(x)}{x} \right]_a^b - \int\limits_a^b \frac{\cos(x)}{x^2}\, dx\right\vert \le \left\vert\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \int\limits_a^b \frac{1}{x^2}\, dx\right\vert [/mm] = [mm] \frac{2}{b} [/mm] ..und somit existiert nach Cauchy ein Grenzwert.
(Kann man das so sagen/schreiben? Gibt das nicht Probleme, weil bei mir die untere Grenze 0 ist?)
Was den zweiten Teil angeht, lieber Hund:
[mm] \integral_{\pi}^{n\pi}{betrag\bruch{sin x}{x} dx}=\summe_{k=2}^{n} \integral_{(k-1)\pi}^{k\pi}{betrag\bruch{sin x}{x} dx}
[/mm]
Ehrlich gesagt verstehe ich schon nicht, warum Du die Integralsgrenzen so gewählt hast...
Geschweige denn die Gleichung an sich.
Kannst Du mir das evtl. nochmal kurtz erläutern?
Vielen Dank nochmal für die Hilfe!!
Viele Grüße!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:38 Mo 09.04.2007 | | Autor: | Hund |
Hallo,
ja das ist richtig, was du geschrieben hast. Und natürlich hat man damit nur die obere Grenze behandelt. (Ein Integral mit zwei uneigentlich Grenzen wird ja immer additiv getrennt und für jeweils eine Grenze separat behandelt, damit man beim Grenzwert keine falschen Ergebnisse bekommt.) Für die 0 kannst du aber sin x/x in 0 nach l´hospital stetig fortsetzten und dann gewöhnlich integrieren.
Zum zweiten Teil: Ich versuche ja einfach die Divergenz des Integrals zu beweisen, indem ich es mit der harmonischen Reihe abgeschätz habe. Die untere Grenze [mm] \pi [/mm] kann ich dabei ja wählen, weil man ja eigentlich bis 0 integriert und somit was (positives) weggelassen hat. Die obere Grenze [mm] n\pi [/mm] kann ich ja nach Definition des uneigentlichen Integrales wählen. Die obere Grenze ist ja unendlich, also kann ich theoretisch jede gegen unendlich strebende Folge dort stehen haben und man sucht sich für den Beweis [mm] n\pi [/mm] aus. Im zweiten Schritt habe ich nur die additivität ausgenutzt. Im nächsten Schritt habe ich den Integranden abgeschätzt, indem ich Isin xI stehen gelassen habe und I1/xI durch den allerkleinsten Wert ersetzt, den es auf diesem Intervall animmt und das ist [mm] 1/k\pi. [/mm] Das stehen gebliebende Integral habe ich durch zwei abgeschätzt und [mm] 2/\pi [/mm] schließlich vor die Summe gezogen. Die harmonische Reihe ist unbeschränkt und daraus folgt dann auch schon die Behauptung.
Ich hoffe, es hat dir geholfen.
Gruß
Hund
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