Existenzbeweis Gruppenhomom. < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben sei ein regelmäßiges n-Eck [mm] $P_n$ [/mm] und es sei [mm] $R_n$ [/mm] die Untergruppe der Drehungen des n-Ecks.
a) Zeigen Sie, dass für jedes [mm] $r\in R_n$ [/mm] genau ein Gruppenhomomorphismus [mm] $\varphi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_n,\circ)$ [/mm] existiert, mit [mm] $\varphi(1)=r$.
[/mm]
b) Betrachten Sie alle Gruppenhomomorphismen für den Fall $n=3$, also alle [mm] $\varphi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_3,\circ)$. [/mm] Geben Sie jeweils Kern und Bild an.
c) Seien nun $n=6$ und [mm] $\psi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_6,\circ)$ [/mm] der Gruppenhomomorphismus, der 1 auf die Drehun um 120° abbildet. Geben Sie die Wertetabelle von [mm] $\psi$ [/mm] an. |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
Mir fehlt bei Teilaufgabe a) leider der Ansatz. Kann man das konstruktiv Beweisen oder muss man das über einen Widerspruch zeigen?
Meine überlegung war anzunehmen, es gäbe zwei solche Homomorphismen und das ganze zu einem Widerspruch zu führen. Leider komme ich auch damit nicht weiter.
Für Ansätze wäre ich sehr dankbar :)
Gruß
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Hallo,
> Gegeben sei ein regelmäßiges n-Eck [mm]P_n[/mm] und es sei [mm]R_n[/mm] die
> Untergruppe der Drehungen des n-Ecks.
Untergruppe wovon?
> a) Zeigen Sie, dass für jedes [mm]r\in R_n[/mm] genau ein
> Gruppenhomomorphismus
> [mm]\varphi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_n,\circ)[/mm] existiert, mit
> [mm]\varphi(1)=r[/mm].
Dieser Satz hat nichts mit Drehungen zu tun, gilt also für jede beliebige Gruppe. Zeige daher allgemein:
Ist $ G $ eine Gruppe, $ [mm] r\in [/mm] G $, so gibt es genau einen Homomorphismus [mm] $\IZ\xrightarrow{\ \ \varphi\ \ } [/mm] G $ mit $ [mm] \varphi [/mm] (1)=r $.
Zunächst einmal, wieso kann es höchstens einen geben? Dir sind sicherlich die beiden folgenden Tatsachen bekannt, falls nicht, beweise sie selbst: [mm] $\IZ [/mm] $ wird durch $1$ erzeugt. Sind $ [mm] G\xrightarrow [/mm] {\ \ f, g\ \ } H $ zwei Gruppenhomomorphismen, ist $ [mm] A\subseteq [/mm] G $ eine Menge, welche ganz $ G $ erzeugt, und gilt $ f (a)=g (a) $ für alle $ [mm] a\in [/mm] A $, so gilt $ f=g $. Als Spezialfall folgt hieraus die Eindeutigkeit.
Um die Existenz zu zeigen, können wir ja erst einmal annehmen, wir hätten einen solchen Homomorphismus. Dann müsste für $ [mm] n\in\IN$ [/mm] gelten, dass [mm] $\varphi (n)=\varphi (\underbrace {1+\dots+1}_{n-\text {mal}})=\varphi (1)*\dots\varphi (1)=r*\dots*r=r^n [/mm] $. Dies führt zu folgender Vermutung: Die Abbildung [mm] $\IZ\xrightarrow [/mm] {\ \ [mm] \varphi\ [/mm] \ }G $, $ [mm] n\longmapsto r^n [/mm] $ ist ein Homomorphismus. Zeige dies.
> b) Betrachten Sie alle Gruppenhomomorphismen für den Fall
> [mm]n=3[/mm], also alle
> [mm]\varphi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_3,\circ)[/mm]. Geben Sie
> jeweils Kern und Bild an.
> c) Seien nun [mm]n=6[/mm] und
> [mm]\psi:(\textbf{Z},+)\rightarrow(R_6,\circ)[/mm] der
> Gruppenhomomorphismus, der 1 auf die Drehun um 120°
> abbildet. Geben Sie die Wertetabelle von [mm]\psi[/mm] an.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
>
> Mir fehlt bei Teilaufgabe a) leider der Ansatz. Kann man
> das konstruktiv Beweisen oder muss man das über einen
> Widerspruch zeigen?
>
> Meine überlegung war anzunehmen, es gäbe zwei solche
> Homomorphismen und das ganze zu einem Widerspruch zu
> führen. Leider komme ich auch damit nicht weiter.
>
> Für Ansätze wäre ich sehr dankbar :)
b) Die [mm] R_3 [/mm] hat ja nur 3 Elemente. Gemäß a) weißt du, wie die Homomorphismen jeweils aussehehen und das berechnen von Kern und Bild sollte dir nicht schwer fallen.
c) Da [mm] $\IZ [/mm] $ unendlich viele Elemente hat, wird es schwierig sein, für jedes dessen Wert anzugeben. Aber du kannst die Elemente von [mm] $\IZ [/mm] $ in drei Klassen aufteilen, wo jeweils alle Elemente auf denselben Wert geschickt werden.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
> Gruß
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Vielen Dank für Deine Antwort!
> Untergruppe wovon?
Pardon, [mm] $R_n$ [/mm] soll Untergruppe von [mm] $Sym(P_n)$, [/mm] also der Gruppe der Symmetrien (Drehungen und Spiegelungen) eines $n$-Ecks sein.
[mm] $R_n$ [/mm] scheint ja isomorph zu [mm] $C_n$ [/mm] bzw [mm] $\mathbf{Z/nZ}$ [/mm] zu sein.
Ich hatte weiterhin den Denkfehler, dass jedes Element in G getroffen werden muss (surjektive Abb) was ja überhaupt nicht der Fall ist.
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> Vielen Dank für Deine Antwort!
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> > Untergruppe wovon?
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> Pardon, [mm]R_n[/mm] soll Untergruppe von [mm]Sym(P_n)[/mm], also der Gruppe
> der Symmetrien (Drehungen und Spiegelungen) eines [mm]n[/mm]-Ecks
> sein.
>
> [mm]R_n[/mm] scheint ja isomorph zu [mm]C_n[/mm] bzw [mm]\mathbf{Z/nZ}[/mm] zu sein.
Ja, das ist richtig. Die Symmetriegruppe ist übrigens ein semidirektes Produkt aus der Untergruppe der Drehungen und der Untergruppe der Spiegelungen, also $ Sym [mm] (P_n)\cong \IZ/n\rtimes\IZ/2$. [/mm] Diese Feststellung ist nützlich, denn sie liefert eine einfache Gruppenpräsentation.
> Ich hatte weiterhin den Denkfehler, dass jedes Element in G
> getroffen werden muss (surjektive Abb) was ja überhaupt
> nicht der Fall ist.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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