Existenz zeigen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:06 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
| Aufgabe | | [mm] \limes_{x\rightarrow 0+}(x^{2})^{x} [/mm] |
Hallo,
wie kann ich zeigen das dieses existiert?
Muss man da bestimmte Regel anwenden?
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> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}(x^{2})^{x}[/mm]
> Hallo,
>
> wie kann ich zeigen das dieses existiert?
>
> Muss man da bestimmte Regel anwenden?
Hallo,
[mm] \left(x^2\right)^x=\left(x^x\right)^2=\left(e^{\ln x\cdot x}\right)^2.
[/mm]
Ist dir bekannt [mm] $\lim_{x\to0+}x\ln [/mm] x=0$? Damit folgt [mm] $\lim_{x\to0+}e^{\ln x\cdot x}=1$. [/mm] Also [mm] $\lim_{x\to0+}\left(e^{\ln x\cdot x} \right)^2=1$
[/mm]
Zu [mm] $\lim_{x\to0+}x\ln [/mm] x=0$. Das folgt im einfachsten Fall aus L'Hospital.
[mm] $\lim_{x\to0+}x\ln x=-\lim_{x\to0+}\frac{\ln x}{-1/x}\stackrel{LH}{=}-\lim_{x\to0+}\frac{1/x}{1/x^2}=-\lim_{x\to0+}\frac{x}{1}=0$
[/mm]
Gruß
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Hallo,
> [mm]\limes_{x\rightarrow 0+}(x^{2})^{x}[/mm]
> Hallo,
>
> wie kann ich zeigen das dieses existiert?
Merke:
Für [mm]a>0[/mm] ist [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
Schreibe das oben genauso um.
>
> Muss man da bestimmte Regel anwenden?
Bedenke, dass die Exponentialfunktion stetig ist, dass also
[mm]\lim\limits_{x\to x_0}e^{g(x)}=e^{\lim\limits_{x\to x_0}g(x)}[/mm] ist.
Greife dir also nach der Umschreibung den Exponenten heraus, forme ihn etwas um, so dass du die Regel von de l'Hôpital anwenden und den GW des Exponenten für [mm]x\to 0^+[/mm] bestimmen kannst ...
Am Ende dann [mm]e^{\text{GW}}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
ich habe es mal so probiert:
[mm] (x^{2})^{x} [/mm] = [mm] e^{ln(x^{2})^{x}} [/mm] = [mm] e^{x ln (x^{2})}
[/mm]
so erst mal richtig?
aber wie mache das jetzt mit dem Exponenten und l´H. ?
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Hallo nochmal,
> ich habe es mal so probiert:
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> [mm](x^{2})^{x}[/mm] = [mm]e^{ln(x^{2})^{x}}[/mm] = [mm]e^{x ln (x^{2})}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Du bist so sparsam mit Klammern ...
> so erst
> mal richtig?
>
> aber wie mache das jetzt mit dem Exponenten und l´H. ?
Weiter kannst du vereinfachen zu [mm]e^{2x\ln(x)}[/mm]
Exponent: [mm]2x\ln(x)[/mm] strebt direkt gegen [mm]0\cdot{}(-\infty)[/mm]
Kleiner "Trick":
[mm]2x\ln(x)=\frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
Nun geht das für [mm]x\to 0^+[/mm] gegen [mm]-\frac{\infty}{\infty}[/mm]
Wunderbar, also ran mit de l'Hôpital ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:34 Sa 19.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hallo,
in meiner Antwort bin ich zwar minimal anderes vorgegangen, aber im Angesicht deiner Frage wundere ich mich, ob du sie überhaupt gelesen hast -.-"
Dort findet sich gerade ein Beispiel für L'Hospital.
Gruß
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Hi kamaleonti,
wie kommst du da eigentlich auf die Wurzel?
Ich sehe das gerade nicht ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:44 Sa 19.02.2011 | | Autor: | kamaleonti |
Hi schachuzipus,
die Wurzel ist Unsinn, werde ich editieren. Danke!
EDIT: jetzt ist es editiert und dadurch noch richtiger 
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:50 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Ich habe da irgenwie nicht durchblicken können.
da kam mir schachuzipus Antwort leichter vor.
soll ich jetzt mit $ [mm] 2x\ln(x)=\frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}} [/mm] $ weiter rechnen und l´H. anwenden?
Oder welches ist die leichtere Variante?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 Sa 19.02.2011 | | Autor: | abakus |
> Ich habe da irgenwie nicht durchblicken können.
> da kam mir schachuzipus Antwort leichter vor.
>
> soll ich jetzt mit [mm]2x\ln(x)=\frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
> weiter rechnen und l´H. anwenden?
>
> Oder welches ist die leichtere Variante?
Also,
falls du in der Lage bist, [mm] 2\ln(x) [/mm] und [mm] \frac{1}{x} [/mm] abzuleiten, ist DAS wohl eine an Leichtigkeit kaum zu überbietende Variante.
Gruß Abakus
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Hallo,
> Ich habe da irgenwie nicht durchblicken können.
> da kam mir schachuzipus Antwort leichter vor.
>
> soll ich jetzt mit [mm]2x\ln(x)=\frac{2\ln(x)}{\frac{1}{x}}[/mm]
> weiter rechnen und l´H. anwenden?
>
> Oder welches ist die leichtere Variante?
Beides führt auf dieselbe Rechnung, bei mir mit der 2 im Zäher, bei k. ohne, dafür am Ende quadrieren.
Die Anwendung von de l'Hôpital geht ganz analog in beiden Fällen.
K. hat's in seinem Fall ja vorgerechnet, rechne doch mal in meiner Version nach, ob du auch drauf kommst...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:34 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Ok also:
f´(x)= [mm] \bruch{2}{x}
[/mm]
f´(x)= [mm] \bruch{-1}{x^{2}}
[/mm]
[mm] \bruch{\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{2}{x}}{\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{-1}{x^{2}}}= [/mm] 0
So und ich sollte noch den Wert angeben, ist das nun die 0 ?
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> Ok also:
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> f´(x)= [mm]\bruch{2}{x}[/mm]
> f´(x)= [mm]\bruch{-1}{x^{2}}[/mm]
>
>
> [mm]\bruch{\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{2}{x}}{\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{-1}{x^{2}}}=[/mm] 0
So wie du es hier aufschreibst ist es Unsinn. der Limes bleibt davor stehen und wird nicht in Zähler und Nenner reingezogen. Geht auch nicht, denn z. B. [mm] \limes_{x\rightarrow0+}\bruch{2}{x} [/mm] existiert gar nicht.
[mm] $\ldots=\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{2/x}{-1/x^{2}}=\limes_{x\rightarrow0+}\bruch{2x}{1}=0$
[/mm]
So sieht es besser aus
>
> So und ich sollte noch den Wert angeben, ist das nun die 0
> ?
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:56 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Ah ok vielen Dank.
Ich dachte ich müsse den Zähler und Nenner einzeln betrachten.
Und wie berechne ich nun den Wert?
Ist das einfach die 0 ?
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Im letzten Schritt, da keine "Division durch 0" vorliegt, einfach einsetzen.
Gruß
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Sa 19.02.2011 | | Autor: | Balsam |
Der letzte Schritt wäre [mm] \bruch{2x}{1} [/mm]
ensetzen ergibt 0
Richtig?
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> Der letzte Schritt wäre [mm]\bruch{2x}{1}[/mm]
>
> ensetzen ergibt 0
> Richtig?
Ja - dieses Ergebnis haben wir doch schon die ganze Zeit vor Augen.
Gruß
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